Zusammenfassung
Die vorangehend behandelte Statik und die auf deren Grundgesetzen fußende Elastizitäts- und Festigkeitslehre bilden nach § 1.3 nur ein Teilgebiet der Mechanik, nämlich denjenigen Spezialfall, in dem trotz wirkender Kräfte keine Bewegung eintritt. Wir wenden uns jetzt der grundsätzlichen Aufgabe der Mechanik (§ 1.1), also der Untersuchung der Bewegung von Körpern zu; vorerst wird es sich um einführende Betrachtungen handeln.
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Literatur
Siehe Aufgabe 6 der Übungen zu §Das heißt, in gleichen Zeiten gleiche Kreisbögen zurücklegend.
Das heißt, in gleichen Zeiten gleiche Kreisbögen zurücklegend.
Man denke z. B. an ein auf das Rohr ausgeübtes Drehmoment und an eine auf die Kugel mittels eines im Rohr geführten Fadens einwirkende Kraft.
Hier ist die Temperaturangabe notwendig, da das Volumen einer bestimmten Menge Wassers von der Temperatur abhängt!
Siehe Fußnote von S. 27.
Worausman — in der Physik — auf die Gleichheit von träger und schwerer — d. h. dem Gewicht zukommender, z. B. durch statische Federdeformation meßbarer — Masse schließt.
Diese geht auf Leonhard Euler zurück (s. auch § 1.4 und § 3.2), worauf C. A. Truesdell in mehreren Arbeiten hinweist (s. die Fußnote auf S. 3).
Der Index n deutet an, daß der Spannungsvektor Sn auf dasjenige Flächenelement dF wirkt, dessen Normalenvektor n ist (Abb. 20.2).
Siehe Hamel: Elementare Mechanik, S. 318. Leipzig 1912.
Wir bemerken allerdings, daß das von Newton formulierte Gegenwirkungsprinzip nur für den Fall zweier unmittelbar aneinander grenzender Teile beweisbar ist. Der heute allgemeine vertretene Standpunkt, daß sich sämtliche Wirkungen mit einer gewissen Zeit durch den Raum ausbreiten, verbietet demgemäß die Übertragung des Gegenwirkungsprinzips auf zwei voneinander entfernte Körper ohne die Benutzung des Zeitbegriffes. Es ist durchaus denkbar, daß bei weit voneinander entfernten Körpern die Gegenwirkung erst später einsetzt als die Wirkung, so daß in solchen Fällen sogar eine Unbrauchbarkeit des Schwerpunkt- und Momentensatzes, bei denen die Gleichzeitigkeit von Wirkung und Gegenwirkung für alle Kräfte vorausgesetzt wird, nicht undenkbar wäre.
Vom fahrenden Eisenbahnzug aus scheint die Landschaft in Bewegung zu sein; um den Karussellinsassen „dreht sich die Welt“.
Ist i in Komponenten eines körperfesten Koordinatensystems gegeben, so hat man bei der Bildung von Formel (1944) zu beachten.
Der französische Physiker und Mathematiker Mersenne (1588–1648) stellte als erster die Aufgabe der Ermittlung des Schwingungsmittelpunktes. Dieser wurde nach langen Bemühungen von Huygens in dem eben dargelegten Sinne bestimmt. Auch Jacob Bernoulli hat nach einem mißlungenen Versuch die richtige Lösung gefunden.
Wir haben hiermit an der Allgemeinheit des Problems nichts geändert, da wir ja jeden beliebigen Anfangszustand (φ0, w0) mittels Gl. (20.30) durch die Winkelgeschwindigkeit in der Tiefstlage charakterisieren können.
Die Werte F(Ψ, x) des elliptischen Integrals erster Gattung können aus den Tafeln von Milne-Thomson (Die elliptischen Funktionen von Jacobi, Berlin 1931), aus der Hütte, Bd. I, 28. Aufl. oder aus den Funktionentafeln von Jahnke-emdelÖSCH (Stuttgart 1960) entnommen werden. Die Umkehrung des elliptischen Integrals wird als elliptische Funktion bezeichnet.
Die Bezeichnungen (Abkürzungen) sind in der Literatur nicht einheitlich.
Nach dieser Methode versperrt man sich allerdings den Zugang zur Elastizitätstheorie !
Vorlesungen über die Prinzipe der Mechanik. Leipzig 1897.
Siehe § 27 und I. Szabó: Höhere Technische Mechanik, 3. Aufl., Berlin/ Göttingen/Heidelberg: Springer 1960.
Diese Zusammenhänge werden verwendet bei der (nichtlinearen Schwingungs-) Auf gabe 12 zu § 23 bis § 24.
Seit 1595 „brütete“ Kepler — um sein eigenes Wort zu gebrauchen — mit der ganzen Kraft und Ausdauer seines genialen Geistes an dem quantitativen Aufbau des Kopernikanischen Weltsystems; 1609 publizierte er die beiden ersten Gesetze und erst 1619 das dritte.
Diese Behauptung war für die damalige Zeit ungeheuer kuhn; gait es doch seit dem Altertum als eine „unumstößliche Wahrheit“, daß die Planeten sich nur in — der Natur eigentümlichen — Kreisbahnen bewegen können.
So z. B. in seinen Gedanken die mögliche Anzahl der Planeten betreffend, da er — wie die Pythagoreer — überzeugt war, daß Gott die Welt in Anzahl und Proportionen nach einem bestimmten Zahlengesetz geschaffen habe.
Hierbei ist zu bemerken, daß Kepler 1630 starb, während Galileis „Discorsi“, in dem seine Mechanik niedergelegt ist, erst 1638 erschien. Chemiefasern, die — allerdings zweieinhalb Jahrhunderte später — die Textilindustrie so umwälzend beeinflußt haben! Im selben Jahre schreibt er, die mechanische Theorie der Wärme (also auch die kinetische Gastheorie) vorwegnehmend: „Daß die Teilchen aller Körper, so fest sie auch sein mögen, doch vibrieren, dazu braucht es meines Erachtens keinen anderen Beweis als den, daß alle Körper einen gewissen Grad Wärme in sich haben und daß noch niemals ein absolut kalter Körper gefunden ist.“
Zu dieser Erkenntnis benötigte die Menschheit anderthalb Jahrtausende, wenn man in Betracht zieht, daß in der „Moralia“ (De facie quae in orbe lunae apparet) von Plutarch (46–120) festgestellt wird, daß der Mond durch den Schwung seiner Drehung genauso daran gehindert wird, auf die Erde zu fallen, wie ein Körper, der in einer Schleuder „herumgewirbelt“ wird; es bedurfte des Genies von Newton, um zu erkennen, was die „Schleuder“ bei den Planeten ist!
Siehe Beispiel in § 19.9, S. 233.
Natürlich muß in diesem Falle die Kreiselachse im Fahrzeug fest gelagert sein. Das Gegenteil ist beim Kreiselkompaß der Fall, wo durch kardanische Auf — hängung dafür gesorgt wird, daß die für Navigationszwecke notwendige Richtung der Kreiselachse von der Schiffsbewegung nicht beeinflußt wird.
Weiteres über die Theorie des Kreisels s. Klein-Sommerfeld: Theorie des Kreisels (Leipzig 1897); Grammel: Der Kreisel (Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1950); I. SzabÓ: Höhere Technische Mechanik, 3. Aufl., § 7 (Berlin/ Göttingen/Heidelberg: Springer 1960).
Bei der Aufstellung solcher Gesetze muß man bei (inkompressiblen) Flüssigkeiten zwischen idealen und zähen Flüssigkeiten unterscheiden (s. § 25) und bei Gasen die Kompressibilität (Dichteänderung) berücksichtigen (s. I. Szabó: Höhere Technische Mechanik, § 19 bis § 23).
Hierüber in Hamel: Theoretische Mechanik, S. 72 und S. 629. Berlin 1948.
Dies tritt allerdings bei jeder Reibung ein, wenn man durch ein übermäßig großes Drehmoment dem Fahrzeug große Anfahrtsbeschleunigung erteilen will (s. Aufgabe 15 der Übungen zu § 19 bis § 22).
Siehe z. B. L. Hänert: Geschütz und Schuß. Berlin: Springer 1940.
— H. Athen: Ballistik. 2. Aufl., Quelle & Meyer 1958. —
R. E. Kutterer: Ballistik, 3. Aufl., Vieweg 1959.
Siehe Fußnote auf S. 2.
Hierüber Ausführlicheres in: W. Haack: Vorlesungen über ausgewählte Kapitel der Ballistik, Springer (in Vorb.). — R. Sauer: Einf. in die theoret. Gasdynamik, 3. Aufl., Spinger 1960. —
I. Szabó: Höhere Technische Mechanik, 3. Aufl., § 22. Springer 1960.
Wir haben hier also für die Herleitung der Bewegungsgleichung das zur Zeit t vorhandene Massensystem als ein abgeschlossenes System angesehen. Man kann auch, wenn auch etwas umständlicher, von dem zur Zeit t = 0 vorhandenen gesamten Massensystem ausgehen und hat dann den Vorteil, durch einen formalen Differentiationsprozeß zur Bewegungsgleichung zu kommen. Siehe hierzu Aufgabe 11.
Diese Art der Herleitung der Differentialgleichung der Bewegung durch einen auf die beiden Energiearten (zu denen auch noch die potentielle Energie des Schwerefeldes kommen kann) angewandten Differentiationsprozeß findet ihre allgemeine Form in den sog. Lagrangeschen Bewegungsgleichungen (s. I. SzabÓ: Höhere Technische Mechanik, § 6.2).
An Literatur über nichtlineare Vorgänge seien angeführt: N. Minorsky: Nonlinear Oscillations, New York, van Norstrand 1962;
Th. V. Kármán: The Engineer Grapples with Non-linear Problems. Bull. Amer. math. Soc., Vol. 46, (August 1940);
Mclachlan: Ordinary Non-linear Differential Equations, Oxford 1950;
J. J. Stoker: Non-linear Vibrations, New York 1950;
S. Lefschetz: Contribution to the Theory of Non-linear Oscillations, Princeton 1950;
H. Kauderer: Nichtlineare Mechanik, Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1958. In diesen Werken weitere Literaturangaben.
Man bedenke, daß gemäß (23.102) dies auch in der linearisierten Theorie nicht zutrifft!
Math. Ann. Bd. 95 (1926) S. 307.
Siehe F. Berger: Kraftverlauf beim Stoß. Braunschweig 1924.
Hierüber Weiteres: G. Hamel: Theoretische Mechanik S. 395. Berlin 1948.
Man denke an den unangenehmen „Ruck“, den man empfindet, wenn man beispielsweise einen Radioapparat ins Nebenzimmer trägt und mit der Anschlußleitung an einer Türklinke hängenbleibt!
Natürlich kann bei zeitabhängigen Strömungsvorgängen der Druck auch noch eine Funktion der Zeit werden, jedoch ist auch in diesem Falle der Flüssigkeitsdruck unabhängig von der Richtung.
Die Lagrangesche Betrachtungsweise verfolgt dagegen das „Schicksal“ eines Massenteilchens.
Eine besonders schöne Veranschaulichung dieses Sachverhaltes ist die folgende: Man denke sich einen großen Saal, in dem die Temperatur örtlich und zeitlich veränderlich ist; ein an einem festen Ort befindliches Thermometer zeigt die lokale Änderung der Temperatur, während ein im Saal herumgetragenes die substantielle abzulesen gestattet.
Siehe I. Szabó: Höhere Technische Mechanik, 3. Aufl., § 21.
In diesem Werk — im 10. Abschnitt — finden sich auch die ersten grundlegenden Betrachtungen zur kinetischen Gastheorie.
Siehe z. B. Kaufmann: Technische Hydro- und Aeromechanik. Berlin/ Göttingen/Heidelberg: Springer 1954;
Kozeny: Hydraulik. Wien: Springer 1953
In der Hydrostatik inkompressibler Flüssigkeiten besteht kein Unterschied zwischen idealer und zäher Flüssigkeit (s. auch § 25.6) entsprechend der Tatsache, daß bei zähen Flüssigkeiten die dort auftretenden Schubspannungen proportional dem Geschwindigkeitsgefälle sind [s. auch Formel (25.42)]. In ruhenden zähen Flüssigkeiten gibt es also, ebenso wie bei der idealen Flüssigkeit, keine Schubspannungen.
Bei Flüssigkeitsdruckbelastung gekrümmter Flächen entsteht neben einer resultierenden Kraft im allgemeinen auch ein Moment. Ausnahmen bilden u. a. Kreiszylinder-, Kugel- und Kegelflächen sowie sämtliche Zylinderflächen mit stehender Zvlinderachse (s. auch Aufgabe 3 zu § 25).
Diese Erscheinung w-ird als hydrostatisches Paradoxon bezeichnet.
In seiner Schrift „De motu gravium naturaliter accelerato“ (1644) korrigierte er die falsche Behauptung des Castelli (1576–1644) — der ebenfalls ein Schüler Galileis war —, daß die Ausflußgeschwindigkeit des Wassers proportional zur Tiefe sei, in der Weise, daß er zum richtigen Resultat (25.25) zwar nicht formelmäßig, jedoch an Hand folgender sinnreicher Versuchsanordnung gelangte: Am unteren Rande eines mit Wasser gefüllten Gefäßes setzte er an der Ausflußöffnung einen rechtwinkligen Rohrstutzen so an, daß das freie Ende senkrecht nach oben zeigte. Der durch den Rohrstutzen austretende und lotrecht hochsteigende Wasserstrahl erreichte nach seinen Beobachtungen annähernd die Höhe des Flüssigkeitsspiegels im Gefäß. Torricelli folgerte hieraus richtig, daß die Austrittsgeschwindigkeit der Wasserteilchen ebenso groß sein müßte wie diejenige, die sich ergeben würde, wenn die Teilchen von der Spiegelhöhe frei herabfallen würden.
Vom Eigengewicht der Flüssigkeit wird hierbei abgesehen.
Nach dem französischen Ingenieur Sadi Carnot (1796–1832).
Das heißt also, daß keine Schubspannungen auftreten können.
lamina = Schicht.
In diesem Gesprächspartner — neben Sagredo und Simplicio — hat sich Galilei selber sprechen lassen.
Spezialfälle der allgemeinen mechanischen oder dynamischen Ähnlichkeit sind die kinematische Ahnlichkeit und die statische Ähnlichkeit zweier Vorgänge. Da wir es in der Kinematik nur mit solchen Größen zu tun haben, die sich aus den Grundeinheiten der Länge und der Zeit aufbauen, genügt es, für die kinematische Ähnlichkeit zweier Vorgänge die Existenz zweier Grundmaßstäbe A und zu fordern, und entsprechend bedarf es, wenn zwei Vorgänge statisch ähnlich sein sollen, eingedenk der Tatsache, daß wir sämtliche statischen Vorgänge als zeitunabhängig vorausgesetzt haben, der Existenz zweier konstanter Maßstabsfaktoren λ und χ.
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Szabó, I. (1963). Einführung in die Kinematik und Kinetik. In: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01312-0_5
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