Zusammenfassung
Die Mechanik hat die Aufgabe, die in der Natur vorkommenden Bewegungen zu untersuchen, d. h. diese Bewegungen durch physikalisch — direkt oder indirekt — meßbare Größen in der Sprache der Mathematik, zu der wir auch die Geometrie rechnen wollen, zu beschreiben1. Freilich wird, genau so wie der Mathematiker in die Reihe der natürlichen Zahlen die „Zahl Null“ aufnimmt, auch in der Mechanik der Grenzfall der Bewegung, d. h. die Ruhe, miteingeschlossen. Daß die Untersuchung der Bedingungen der Ruhe einen wesentlichen Teil der Mechanik ausmacht, ist einleuchtend, wenn wir die Bauten der uns umgebenden Welt ansehen: Der Bauingenieur, der sie entworfen hat, mußte offenbar bei seinen Berechnungen die „Bewegung“, d. h. den Einsturz ausschließen.
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Referenzen
Zu direkt (also unmittelbar) meßbaren Größen wollen wir z. B. die Längen, d. h. Raummessung, zählen, während die Kraft in ihrer Wirkung (z. B. durch die Längenänderung einer Feder), also indirekt gemessen wird.
Kant sagt: „Gedanken ohne anschaulichen Inhalt sind leer, Anschauungen ohne Begriffe sind blind.“
Oft sogar von einer..Unzahl“!
Was übrigens nicht so „sehr falsch“ ist, da man zeigen kann (s. § 22.10), daß die wirkliche Bahn A C bei Berücksichtigung des Luftwiderstandes eine senkrechte Asymptote hat (Abb. 1.1) !
Daß dieses Prinzip auch in anderen Wissenschaften angewendet wird, ist bekannt; was wäre z. B. die Medizin ohne Anatomie ? !
Ausführliches hierüber findet man in dem Buch E. Mach: Die Mechanik in ihrer Entwicklung und E. J. Dijksterhuis: Die Mechanisierung des Weltbildes, Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1956.
Man denke an das BoHRsche Atommodell: Kern mit umkreisenden Elektronen, hergenommen (d. h. „ausgeliehen“) aus der Astronomie.
Heron von Alexandrien (um 120 V. Uhr.) spricht bereits klar aus, daß das Produkt aus Kraft und Abstand maßgebend für das Gleichgewicht eines Körpers ist; ob Leonardo die Werke von Heron gekannt hat, ist ungewiß. Eine von Heiberg herausgegebene Gesamtausgabe der Werke von Heron erschien erst um 1900.
Toeplitz, O.: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung, Berlin/Göttingen/ Heidelberg: Springer 1949.
Ohne Einwirken von Kräften verharren die Körper in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung N 20.2b).
Dieser schöne Spruch ziert die Titelvignette seines Werkes („Hypomnemata mathematica“, Leiden 1605) mit der das Prisma umschließenden Kette.
Siehe § 21.6. — 4 Siehe § 20.5. — 5 Siehe § 21.6.
Siehe §§27 u. 28 und I. Szabó: Höhere Technische Mechanik, 2. Aufl., § 1 u. §3. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1958.
Man denke z. B. an die Skala eines Thermometers.
Grundsätzlich ist zum Vektorbegriff folgendes zu sagen: Zur Unterscheidung der beiden Fortschreitungsmöglichkeiten auf einer Geraden benutzt man die positiven und negativen Zahlen; dem gleichen Zweck dienen für die unendlich vielen Fortschreitungsrichtungen im Raume die Vektoren.
Fallen Anfangs- und Endpunkt zusammen, so spricht man von einem Nullvektor. Seine Länge ist Null und seine Richtung unbestimmt: Er soll zu jedem Vektor parallel und auch senkrecht sein.
Von der Wurzel ist hier stets das positive Vorzeichen gemeint!
Der Winkel zwischen zwei Geraden liegt nicht eindeutig fest: Man muß zur eindeutigen Definition Drehsinn und Richtung der Geraden einführen.
Das Grundsätzliche zum Differentialquotienten findet man in R. Rothe: Höhere Mathematik, Teil I, § 7.
Rothe, R.: Höhere Mathematik, Teil I, § 8.4.
Dieses steht schon bei Galilei, der am ersten und zweiten Tage seiner „Discorsi“ Kraft und Gewicht als gleichbedeutende Begriffe behandelt.
Selbstverständlich ist eine solche Definition einerseits entsprungen der (visuellen) Erfahrung, daß wir nämlich einen Körper „zerkleinern“ können; andererseits ist sie wegen der vorausgesetzten kontinuierlichen Verteilung ein Verzicht auf molekulare Feinheiten. Das ist jedoch für unsere (makroskopische) Mechanik ohne Bedeutung.
Rothe, R.: Höhere Mathematik, Teil III, § 11 und § 13.
Verlegt man dagegen A aus der Geraden A 1 S, so wird der Körper i. allg. nach einer Drehung eine neue Gleichgewichtslage einnehmen!
Sie sind nämlich Grenzwerte eingeprägter Kräfte!
Z. B. sind innere Reaktionskräfte sämtliche inneren Kratte eines starren Körpers und innere eingeprägte Kräfte die innerhalb einesKörpers wirkenden molekularen Anziehungskräfte oder die inneren Spannungen eines deformierbaren Körpers.
Dies muß betont werden, da nach dem Beharrungsprinzip jeder Körper ohne Kräfteeinwirkung in gleichförmiger geradliniger Bewegung verharrt.
Deren Einführung durch Leibniz gerade zur Auflösung von linearen Gleichungen geschah.
Lies: 1 cm entspricht x kg.
Hinsichtlich ihrer mechanischen Eigenschatten vernalten sich beide euilde gleich; ausführlich hierüber in § 18. 3 Zu der Druckbeanspruchung des Fadens ist folgendes zu sagen: Die Gleichgewichtslage eines unter Druck stehenden geraden Fadens ist instabil, d. h. infolge der geringsten Abweichung der Fadenachse von der Geraden oder durch nicht genau axial wirkenden Druck bricht der Faden zusammen.
Man sagt auch, die Kraft sei ein polarer Vektor, während dem Kräftepaar ein sog. axialer Vektor zugeordnet werden kann. 2 Man denke sich eine starre, an den Enden in Kugellagern laufende oder festgehaltene Welle: Für die dynamische oder statische Wirkung ist es offenbar gleichgültig, in welcher zur Wellenachse senkrechten Ebene ein Kräftepaar gleichen Momentenvektors angreift.
Eine andere, umfassendere Formulierung des Gleichgewichtes enthält das Prinzip der virtuellen Arbeiten (s. § 27).
Im Gegensatz zur trägen Masse (§ 20.2). 2 D. h., wenn die Funktion unter dem Integralzeichen die Ableitung einer bekannten (elementaren) Funktion ist. 3 Beachte die Ähnlichkeit der Dreiecke!
Teile dieser Kurve können allerdings die Koordinatenachsen bzw. parallele Geraden zu ihnen sein; nur die Rotationsachse darf nicht „durchgeschnitten“ werden!
Womit nicht gesagt ist, daß der Querschnitt konstant ist!
Durch die Schnittführung sind die auf die Balkenteile wirkenden, vormals inneren Kräfte zu äußeren Kräften und damit an Hand der Gleichgewichtsbedingungen einer Berechnung zugänglich gemacht worden. Das ist wieder das Schnittprinzip von Euler (s. a. § 1.4 und § 3.2). 2 Von trivialen Fällen, wie den nur durch Zug- oder Druckkräfte gleichmäßig beanspruchten Balken gleichen Querschnitts, wollen wir absehen.
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Szabó, I. (1959). Die Statik des starren Körpers. In: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01310-6_1
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