Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Zusammenfassung

Bei unseren Überlegungen zu den charakteristischen Funktionen haben wir bereits einige spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen kennengelernt, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Rolle spielen. Es handelte sich um Beispiele von stetigen Wahrscheinlichkeitsdichten mit besonders einfachen charakteristischen Funktionen. Unter ihnen spielt vor allem die Gausssche oder normale Verteilung in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Rolle, so daß wir ihr in diesem Kapitel einen besonderen Paragraphen widmen werden. Mathematisch einfacher sind aber die ursprünglich eingeführten zufälligen Variablen, die nur endlich vieler Werte fähig sind; wir hatten auch für sie verschiedene Beispiele kennengelernt. Als besonders einfach erscheint eine zufällige Größe, wenn sie mit positiver Wahrscheinlichkeit nur zweier Werte α_l und α₂ fähig ist. In der maßtheoretischen Sprache ist das also eine Punktfunktion α_l + (α₂ - α _l) ∙ X(x) auf dem Wahrscheinlichkeitsfeld (M, ﺞ, p), wobei X (x) die charakteristische Funktion (im maßtheoretischen Sinne) zu einem Ereignis aus M ist. Es läge daher nahe, nun zunächst die Untersuchung von zufälligen Größen mit nur endlich vielen Werten weiterzuführen, wobei besonders interessiert, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Summen aus unabhängigen solchen zufälligen Größen aussieht, wenn die einzelnen Summanden untereinander übereinstimmende Verteilungen besitzen. Wie wir wissen, tritt diese Frage auf, wenn wir uns mit unabhängigen Wiederholungen eines Experimentes beschäftigen. Im Prinzip haben wir die für eine solche Untersuchung notwendigen mathematischen Hilfsmittel bereits vollständig kennengelernt. Aber bei der Durchführung werden wir auf gewisse Umformungen stoßen, die wir im Interesse der Geschlossenheit der Darstellung vorwegnehmen. Es handelt sich hierbei zunächst um rein mathematische Formeln, die man üblicherweise in der reellen Analysis ableitet. Wir wollen aber so vorgehen, daß wir gleichzeitig den Zusammenhang mit gewissen Wahrscheinlichkeitsverteilungen herstellen, deren Einführung auf den ersten Blick vielleicht als unmotiviert erscheinen mag, die sich aber später als wahrscheinlichkeitstheoretisch wichtige Verteilungen erweisen werden.