Arithmetische Eigenschaften der Koeffizienten

  • Ludwig Bieberbach
Conference paper
Part of the Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete book series (MATHE2, volume 3)

Zusammenfassung

P. Fatou [2] schnitt die Frage nach den Eigenschaften der durch solche Potenzreihen definierten Funktionen an und bewies, daß die dargestellten Funktionen entweder rational sind oder daß sie auf dem Konvergenzkreis der Potenzreihe Singularitäten besitzen, in deren Umgebung keine Abschätzung von der Form
$$\left| {f(z)} \right| < k/{\left| {z - {z_0}} \right|^\alpha }mit{\text{ konstanten }}k,\alpha$$
besteht. Sein Beweis beruht darauf, daß nach Multiplikation der Potenzreihe mit einem geeigneten Polynom eine Reihe herauskommt, die auch nur endlich viele verschiedene Koeffizienten hat, die aber nun eine im Einheitskreis beschränkte Funktion darstellt. Da dann die Koeffizienten den Grenzwert 0 haben müssen, so müssen sie von einer gewissen Nummer an alle verschwinden. R. Jentzsci [1], F. Carlson [2], G. Pólya [4], J. Soula [4] haben die Voraussetzungen, unter denen auf die Rationalität der dargestellten Funktion geschlossen werden kann, gemildert und abgeändert. G. Szegö [1] hat die Frage durch den Beweis des folgenden Satzes in gewisser Weise zum Abschluß gebracht.

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1955

Authors and Affiliations

  • Ludwig Bieberbach
    • 1
  1. 1.BerlinDeutschland

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