Zusammenfassung
Ziel dieses Kapitels ist, über die Struktur der kommutativen Körper, über ihre einfachsten Unterkörper und Erweiterungskörper eine erste Übersicht zu gewinnen. Indessen gelten einige der folgenden Untersuchungen (§§ 33, 34, 36, 37) auch für Schiefkörper.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Referenzen
Im nichtkommutativen Fall ist dies falsch, weil die Variable x immer als mit dem Koeffizienten ck vertauschbar angenommen wurde, die Größe # es aber nicht zu sein braucht. Nur wenn speziell ê mit allen Elementen von A vertauschbar ist, gelten alle Betrachtungen dieses Paragraphen.
Für ,»Unzerlegbar in Δ [x]” sagt man gelegentlich auch: „Unzerlegbar” im Körper Δ”. Besser wäre vielleicht: „Unzerlegbar über dem Körper Δ.”
Die Bezeichnung wird hauptsächlich auf algebraische Größen ϑ angewandt. Transzendente Größen desselben Körpers sind stets untereinander konjugiert.
Den höchsten Koeffizienten von f(x) wollen wir hier und im folgenden gleich 1 annehmen, was offenbar nichts ausmacht.
Der hier gegebene Existenzbeweis des Zerfällungskörpers impliziert nicht die effektive Konstruierbarkeit in endlich vielen Schritten. Siehe über diese Fragen G. Hermann, Math. Ann. Bd. 95 (1926) S. 736–788 und B. L. v. d. Waerden, Math. Ann. Bd. 102 (1930), S, 738.
Man kann die Definition auch so fassen: Eine algebraische Erweiterung 27 ist normal, wenn E zugleich mit einer Größe a auch alle zu a konjugierten Größen (irgendeines umfassenden Körpers) enthält. Die zu a konjugierten Größen eines beliebigen umfassenden Körpers sind nämlich nichts anderes als die Wurzeln desselben irreduziblen Polynoms g{x), dessen Nullstelle a ist, und der Umfassungskörper kann immer so gewählt werden, daß in ihm g(x) ganz zerfällt. Diese Definition ist aber hier vermieden worden, da sie auf die Gesamtheit aller umfassenden Körper Bezug nimmt, was (abgesehen von der mengentheoretischen Bedenklichkeit dieser Gesamtheit, die sich wohl beseitigen ließe) weniger schön erscheint, da es sich in Wirklichkeit um eine Eigenschaft von Σ und Δ allein handelt.
Der Ausdruck „von erster Art“ stammt von Steinitz. Ich schlage das Wort „separabel“ vor, das in mehr suggestiver Weise zum Ausdruck bringen soll, daß alle Nullstellen von f(x) getrennt liegen.
Ob auch 04 und damit der ganze Körper separabel ist, ist gleichgültig.
Rights and permissions
Copyright information
© 1955 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this paper
Cite this paper
van der Waerden, B.L. (1955). Körpertheorie. In: Algebra 1. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 33. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01248-2_6
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-01248-2_6
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-01249-9
Online ISBN: 978-3-662-01248-2
eBook Packages: Springer Book Archive