Zusammenfassung
Beim Studium der algebraischen Zahlkörper spielen außer den algebraischen Eigenschaften ihrer Zahlen gewisse unalgebraische Eigenschaften : absolute Beträge a , Realität, Positivsein, eine Rolle. Daß diese Eigenschaften sich nicht mit Hilfe der algebraischen Operationen + und • eindeutig definieren lassen, zeigt sich an folgendem Beispiel.
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Referenzen
Das „Archimedische Axiom“ in der Geometrie lautet nämlich so: Man kann jede gegebene Strecke PQ („Einheitsstrecke“) von einem gegebenen Punkt P („Nullpunkt“) stets so oft in der Richtung PR abtragen, daB man über jeden gegebenen Punkt R hinauskommt.
Der bisherige Teil des Beweises diente nur dazu, die Existenz einer Nullfolge sicherzustellen, die im weiteren Verlauf gebraucht wird. Im archimedischen Fall hate man einfacher ep = 2—P setzen können; wir wollen aber den Satz in voller Allgemeinheit beweisen. Im nichtarchimedischen Fall ist {2—P} keine Nullfolge.
Unter dem Vorzeichen einer Zahl c verstehen wir das Symbol +, — oder 0, je nachdem c positiv, negativ oder Null ist. Ein Wechsel in einer nur die Zeichen und in beliebiger Anzahl aufweisenden Vorzeichenfolge liegt vor, sobald einem ein oder einem ein folgt. Sind auch Nullen vorhanden, so hat man diese bei der Zählung der Wechsel einfach wegzulassen.
Einen anderen einfachen Beweis findet man z. B. bei C. Jordan: Cours d’Analyse I, 3me éd., S. 202. Einen intuitionistischen Beweis gab H. Weyl: Math. Z. Bd. 20 (1914), S. 142.
Vgl. E. Artin U. 0. Schreier : Algebraische Könstruktion reeller KOrper. Abh. Math. Sem. Hamburg Bd. 5 (1926) S. 83–115.
Man hat die kurze Bezeichnung „reell-abgeschlossen“ der präziseren „reell-algebraisch abgeschlossen“ vorgezogen.
i bedeutet hier und im folgenden stets eine Nullstelle von x2 + 1.
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© 1955 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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van der Waerden, B.L. (1955). Reelle Körper.. In: Algebra 1. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 33. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01248-2_10
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