Reihen mit positiven Gliedern

Zusammenfassung

In den vorangehenden Kapiteln haben wir uns mit der Zusammenstellung der grundlegenden Tatsachen aus der Theorie der unendlichen Reihen begnügt. Von nun an stellen wir uns etwas weitere Ziele, wollen tiefer in die Theorie eindringen und zu vielseitigeren Anwendungen übergehen. Dazu nehmen wir zunächst noch einmal die ganz elementar gehaltenen Betrachtungen des III. und IV. Kapitels wieder auf und beginnen mit einer genaueren Untersuchung der beiden Vergleichskriterien I. und II. Art (72 und 78), die wir sofort aus dem ersten Hauptkriterium (70) für die Untersuchung des Konvergenzverhaltens von Reihen mit positiven Gliedern hergeleitet hatten. Diese und alle verwandten Kriterien wollen wir weiterhin durch eine etwas kürzere Schreibweise zum Ausdruck bringen: ∑c _n und ∑d _n sollen im folgenden irgendwelche Reihen mit positiven Gliedern bedeuten, deren Konvergenz bzw. Divergenz schon bekannt ist, ∑a _n dagegen soll eine Reihe sein — und in diesem Kapitel auch stets mit positiven Gliedern —, die auf ihr Konvergenzverhalten hin untersucht werden soll. Dann schreiben wir das Kriterium I. Art (72) einfach in der Form

$$ {a_n} \leqslant {c_n}:\ell ,{a_n} \geqslant {d_n}:\mathbb{C},157 $$

(I)

womit genauer gesagt werden soll: Wenn die Glieder a_n der zu untersuchenden Reihe ∑a _n von einer Stelle an die erste Ungleichung erfüllen, so wird die Reihe konvergieren; wenn sie dagegen von einer Stelle an die zweite Ungleichung erfüllen, so muß sie divergieren.