Orthogonale Polynome

Zusammenfassung

Allgemeines: Es sei w(x) eine nicht negative reelle Funktion der reellen Veränderlichen x, und es sei (a, b) ein festes Intervall auf der x-Aehse. Wenn-dann für n = 0, 1, 2, ...das Integral

$$ \begin{gathered} (1 - {z^2})\frac{{{d^2}u}} {{d{z^2}}} - 2\frac{{du}} {{dz}} + [v(v + 1) - \frac{{{\mu ^2}}} {{1 - {z^2}}}]u = 0 \hfill \\ \int\limits_a^b {{x^n}w(x)dx} \hfill \\ \end{gathered} $$

existiert und

$$ \int\limits_a^b {w(x)dx} $$

positiv ist, so gibt es eine Folge von Polynomen p _v (x), p ₁ (x), ..., p _n (x),...., die durch die folgenden Bedingungen eindeutig bestimmt sind:

• 1 p _n (x) ist ein Polynom vom genauen Grade n, und der Koeffizient der höchsten Potenz von x in p _n (x) ist positiv.

Die Polynome p _n (x) heißen ein zum Intervall (a, b) und der Gewichtsfunktion w(x) gehöriges normiertes System von orthogonalen Polynomen.