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Die hypergeometrische Differentialgleichung

  • Ludwig Bieberbach
Conference paper
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 66)

Zusammenfassung

Ich beginne mit der Ermittlung des zur singulären Stelle z = 0 gehörigen kanonischen Fundamentalsystems der hypergeometrischen Differentialgleichung (7.4.10), das ist
$$\omega '' + \frac{{z(1 + \alpha + \beta ) - \gamma }}{{z(z - 1)}}\omega ' + \frac{{\alpha \beta }}{{z(z - 1)}}\omega = 0$$
(8.1.1)

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Literatur

  1. 1.
    Vgl. z. B. L. Bieberbach: Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I. Leipzig 1934.Google Scholar
  2. 1.
    Man muß zu einem bündigen Beweis dieser Behauptung in zweckmäßiger Weise vom Monodromiesatz Gebrauch machen. Man denke sich erst die z-Ebene längs der positiven reellen Achse von 0 nach ∞ aufgeschnitten. Dann ist jeder Zweig von g (z) nach dem Monodromiesatz in dieser aufgeschnittenen Ebene regulär und eindeutig. Nun ist aber bei richtiger Wahl von a die Funktion g (z) auch in dem um z - 0 gelegten Einheitskreis eindeutig und besitzt daher auf beiden Ufern des zwischen 0 und 1 gelegenen Einschnittes die gleichen Werte. Es wurde doch angenommen, daß alle zur Stelle gehörigen Zweige von w (z) Multipla voneinander sein sollen. Es multipliziert sich also beim Umlauf um z = 0 innerhalb des z 1 jeder Zweig von w (z) mit dem gleichen Faktor wie z a, so daß bei Multiplikation von w (z) mit z ‒a jeder Zweig eindeutig wird. Das gleiche gilt auch für die Umgebung von z=1 und daher durch analytische Fortsetzung längs der positiven reellen Achse überall.Google Scholar
  3. 1.
    Vgl. auch § 8.2.Google Scholar
  4. 1.
    Die nachfolgenden Ausführungen enthalten implizite einen Beweis auch für diese Behauptung.Google Scholar
  5. 2.
    Was hier für γ - 1 bewiesen wurde, gilt natürlich auch für die beiden anderen singulären Punkte. Man sieht das ein, wenn man bedenkt, daß man die drei singulären Punkte der hypergeometrischen Differentialgleichung durch lineare Transformation miteinander vertauschen und dann durch eine Operation (7.4.9) wieder eine hypergeometrische Differentialgleichung herstellen kann.Google Scholar
  6. 3.
    Damit ist auch die vorhin bezeichnete Bedingung, daß (8.14.13) der Logarithmus einer algebraischen Funktion ist, erfüllt, und man kann somit aus der Existenz eines algebraischen Integrals von (8.12.6) schließen, daß das allgemeine Integral von (8.14.1) algebraisch ist.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1953

Authors and Affiliations

  • Ludwig Bieberbach

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