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Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Kleinen

  • Ludwig Bieberbach
Conference paper
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 66)

Zusammenfassung

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung haben die Gestalt
$$\omega '' + {p_1}(z)\omega ' + {p_2}(z)\omega + {p_3}(z) = 0$$
(6.1.1)
.

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Literatur

  1. 1.
    Die Tatsache, daß und auch auf |z|=1 regulär sind, rührt daher, daß p1 und p2 auf |z|= 1 nur die singulare Stelle z = 1 als Pol haben, und daß daher nach Abzug der Hauptteile dieser Pole Funktionen übrig bleiben, die auch in z = 1 regulär sind.Google Scholar
  2. 2.
    Das lehrt die in § 1 beschriebene Majorantenmethode, wenn man die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung (6.1.2) und (6.4.10) nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten durch den Ansatz (6.4.11) bzw. (6.4.12) zu lösen sucht.Google Scholar
  3. 1.
    Vgl. z.B. L. Bieberbach: Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 1.Google Scholar
  4. 1.
    Bd. 6 dieser gelben Sammlung.Google Scholar
  5. 2.
    Durch den Ansatz c 0 ≠ 0 wird die bei der Wahl von ϱ zunächst willkürliche additive ganze Zahl fixiert.Google Scholar
  6. 1.
    G. Lyra hat in Erfüllung eines vom Verfasser dieses Buches aufgestellten Desideratums auch einen von Abschätzungen freien Beweis dafür gefunden, daß stets dann zwei linear unabhängige multiplikative Lösungen existieren, wenn die Methode der unbestimmten Koeffizienten zwei linear unabhängige formale Lösungen liefert. Nachdem aber G. Lyra den im Text wiedergegebenen so überaus einfachen Konvergenzbeweis gefunden hat, besteht meines Erachtens für jenes Desideratum nur ein stark vermindertes Interesse.Google Scholar
  7. 1.
    Der Anblick der Gin. (6.7.1) lehrt, daß nur der Fall Interesse bietet, daß weder v 1 = 0 noch v 2 = 0 ist.Google Scholar
  8. 1.
    Als Gedächtnisstütze sei noch die folgende Bemerkung angefügt: Man kann aus jeder Zeile des Blocks (6.7.30) die vorhergehenden Zeilen durch Differentiation nach log (z - a) gewinnen. Das heißt : Man fasse eine Zeile des Blocks als ganze rationale Funktion von log (z - a) (mit von z abhängigen Koeffizienten) auf und differenziere partiell ein oder mehrmals nach log (z - a). So erhält man konstante Multipla der vorhergehenden Zeilen des gleichen Blocks. Die Verifizierung dieser Behauptung kann dem Leser überlassen bleiben.Google Scholar
  9. 1.
    Es sei daran erinnert, daß an einer wesentlich singulären Stelle die Anzahl der linear unabhängigen sich bestimmt verhaltenden Integrale höchstens Eins sein kann. Auch nahmen wir an, daß p10 und p20 nicht beide verschwinden.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1953

Authors and Affiliations

  • Ludwig Bieberbach

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