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Differentialgleichungen erster Ordnung im Großen

  • Ludwig Bieberbach
Conference paper
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 66)

Zusammenfassung

Die Überlegungen der vier ersten Paragraphen bezogen sich im wesentlichen auf das Verhalten der Lösungen im Kleinen, d.h. in der genügend kleinen Umgebung einer Stelle. Es liegt aber im Wesen der analytischen Funktionen, daß das Verhalten im Kleinen den Gesamtverlauf der Funktion, das ist das Verhalten im Großen bestimmt. Mindestens seit Riemann weiß man, daß der Schlüssel zum Großen beim Studium des Kleinen liegt. Wir lernten zweierlei Sorten von Singularitäten kennen. Wir nannten sie Singularitäten der Differentialgleichung und Singularitäten der Lösungen.

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Literatur

  1. 1.
    Der in § 1.5. bewiesene Satz läßt nämlich erkennen, daß W (w 0) keine wesentlich singulare Stelle besitzen kann. Da (5.2.1) bei Stürzung von w eine Riccatische Differentialgleichung bleibt, gilt die Überlegung auch für uneigentliches w 0.Google Scholar
  2. 1.
    Da für A 2 = 0 die Differentialgleichung (5.2.1) linear ist und wir lineare Differentialgleichungen erster Ordnung schon in § 1 integrieren gelernt haben, braucht hier nur der Fall A ≠ 0 zu interessieren. Daher sei dies weiter vorausgesetzt.Google Scholar
  3. 1.
    Vgl. hierzu und im folgenden das in dieser Sammlung erschienene Werk: R.Nevanlinna: Eindeutige analytische Funktionen. Berlin 1936. Der Posten 0 (log ϱ) rührt von dem Kreis |z|=ϱ 0 her. Die Darstellung in Nevanlinnas Buch bezieht sich auf die Kreisscheibe, das ist auf ϱ 0 = 0. Daher steht dort rechts 0(1) statt dem O (log ϱ) von (5.3.1). Dieser Unterschied ist auch der Grund, aus dem hier auf die Herleitung der benötigten Formeln eingegangen werden muß. Als Grundlage einer umfassenden Theorie der meromorphen Funktionen mit mehrfach zusammenhängendem Existenzgebiet hat die in Betracht kommenden Formeln Gunnaraf Hällström entwickelt (Acta Ac. Aboensis, Math. et Phys. XII 8,1939).Google Scholar
  4. 1.
    H. Wittich ist im Begriff einen Beweis des Malmquistschen Satzes zu veröffentlichen, der den Fragestellungen der neueren Funktionentheorie noch besser gerecht wird, als der hier vorgeführte. Er stützt sich auf die zu Beginn dieses Abschnittes erwähnte Theorie von Hällström.Google Scholar
  5. 2.
    Man wird dazu Henrik Selbergs Theorie der algebroiden Funktionen heranzuziehen haben. Selbergs Gedankengängen habe ich mich auch bei der Herleitung von (5.3.34) angeschlossen.Google Scholar
  6. 1.
    Einen Bericht über die von P. Painlevé, E. Picard, H. Poincaré gemachten Ansätze und erzielten Ergebnisse gibt E. Hilb in seinem Encyklopädieartikel, sowie eine Note in Bd. II, der Oeuvres von H. Poincaré. Als Hauptergebnis wird dort festgestellt: Faßt man (5.5.1) bei unbestimmtem z als Gleichung zwischen w und w’ auf, so ist das Geschlecht p derselben von z unabhängig. Ist p > 1 und ist das allgemeine Integral von beweglichen Verzweigungspunkten frei, so ist es algebraisch. In den Fällen p = 0 und p = 1 lassen sich die in Betracht kommenden Differentialgleichungen explizite angeben.Google Scholar
  7. 1.
    Wegen der in diesem Abschnitt benutzten Begriffe der Uniformisierungstheorie vgl. man z.B. L. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II oder den der Uniformisierung gewidmeten von R. Nevanlinna verfaßten Band dieser gelben Sammlung.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1953

Authors and Affiliations

  • Ludwig Bieberbach

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