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Einiges über nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

  • Ludwig Bieberbach
Conference paper
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 66)

Zusammenfassung

Schon in § 2. 3 wurde festgestellt, daß zum Unterschied von den Differentialgleichungen erster Ordnung schon ganz einfache Beispiele von Differentialgleichungen zweiter Ordnung angegeben werden können, deren allgemeines Integral bewegliche Verzweigungspunkte oder bewegliche wesentlich singuläre Steilen aufweist. Beweglich heißen dabei wie in § 5.1. Singuläre Stellen der Lösungen, deren Lage von den Anfangsbedingungen der Lösung abhängt. Die Frage nach denjenigen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, bei denen bewegliche Singularitäten nicht auftreten, haben Painlevé und seine Schüler gelöst. Es ist nicht die Absicht hier eine Darstellung dieser Theorie zu geben, zumal in dem Enzyklopädieartikel von Emil Hilb, in einem Abschnitt des mehrerwähnten Buches von E. L. Ince und bei G. Valiron, Équations fonctionnelles. Applications, zusammenfassende Darstellungen existieren, die allen Ansprüchen genügen1. Nur einiges wenige sei hervorgehoben. In den Arbeiten von Painlevé und seinen Schülern werden Differentialgleichungen
$$F\left( {w'',w',w,z} \right) = 0$$
studiert, in denen F (w″,w′, w, z) eine ganze rationale Funktion von w″,w′ und w sowie eine analytische Funktion von z ist.

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Literatur

  1. 1.
    Man vgl. auch den aufschlußreichen Bericht von Jules Drach am Ende des Bandes III der Oeuvres de Henri Poincaré.Google Scholar
  2. 1.
    Neuere Untersuchungen zeigen unter anderem, daß die ganzen transzendenten Lösungen linearer Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten höchstens dem Mitteltypus einer endlichen rationalen Ordnung angehören. Da l/Г 1 (z) dem Maximaltypus der Ordnung 1 zugehört, folgt aus den angeführten Untersuchungen ein Teil des Hölderschen Satzes.Google Scholar
  3. 1.
    Alle Elemente von w haben im höchsten Glied offenbar die gleiche Exponentenfolge des Potenzproduktes.Google Scholar
  4. 1.
    Vgl. z.B. L. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 2, 2. Aufl., S. 332. Leipzig 1931.Google Scholar
  5. 1.
    Wegen der Begriffsbildungen für ganze Funktionen vgl. man z.B. L. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 2.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1953

Authors and Affiliations

  • Ludwig Bieberbach

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