Zusammenfassung
Bis jetzt sind im großen nur Differentialgleichungen mit eindeutigen Koeffizienten betrachtet worden, insbesondere solche, deren Koeffizienten in der vollen Riemannschen Zahlenebene bis auf isolierte singulare Stellen z.B. solche der Bestimmtheit regulär waren. Darunter fällt als Spezialfall auch die Lamésche Differentialgleichung in ihrer Schreibweise (10.5.1) mit doppelperiodischen Koeffizienten. Das legt die Frage nach Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten im allgemeinen nahe. Man kann sie als Sonderfall der bisher betrachteten ansehen, indem eben neben die Regularitätsbedingungen als weitere Forderung noch die der Periodizität tritt, und in dem damit auch eine Häufung der Singularitäten im Unendlichen zugelassen wird.
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Literatur
Sie ist offenbar von der Wahl des zu ihrer Herleitung benutzten Fundamentalsystems unabhängig.
Für ϱ= 1 liefert sie wieder das bereits in § 11.1. festgestellte Kriterium für periodische Lösungen, nämlich a11 + a22 =2 Entsprechend werden die halbperiodischen Lösungen (ϱ= -1) durch a11 + a22 =2 gekennzeichnet. Beide Gleichungen liefern diejenigen reellen Werte von λ, für die periodische oder halbperiodische Lösungen auftreten: periodische und halbperiodische Eigenwerte. Wie Otto Haupt (Math. Anz. 79, 1918) erkannt hat, verteilen sich diejenigen Werte von λ, für die stabile oder instabile Lösungen auftreten, auf die Intervalle, welche die beiden Sorten von Eigenwerten auf der reellen λ-Achse bestimmen ; und zwar liegt Stabilität dann und nur dann vor, wenn λ einem offenen von Eigenwerten freien Intervall angehört, dessen beide Endpunkte ungleichwertige Eigenwerte sind, oder wenn λ ein zweifacher Eigenwert ist.
Eine französische Übersetzung von 1907 in den Annales de la faculté des Sciences de Toulouse ser. II tome IX ist relativ bequem zugänglich.
Sie ist auch für n= - 1, -2, ... richtig. Man ersetze dann nur n durch - n- 1.
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Bieberbach, L. (1953). Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten. In: Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 66. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01216-1_11
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