Die grundlegenden Existenzsätze

  • Ludwig Bieberbach
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 66)

Zusammenfassung

Ich nehme sie in der Normalform
$$w' = f(w,z)$$
(1.1.1)
an. Es gilt der folgende Existenzsatz: Die Funktion f(w, z) sei in einem Gebiet1 G der komplexen Veränderlichen (w, zeindeutig und analytisch 2 . Es bedeute w’ die Ableitung dwjdz. Es sei (w 0 , z 0 ) eine Stelle aus G. Dann gibt es genau eine in einer Umgebung |z -z 0 | < R von z 0 reguläre analytische Funktion w(z), die 1. der Anfangsbedingung w(z 0 ) =w 0 genügt, für die 2. (w(z),z)(z∈G und 3. w’(z) = f (w (z), z) für alle z ∈|z-z 0 | < R erfüllt ist. Eine solche Funktion heißt Lösung oder Integral der Differentialgleichung w’ =f( w, z ).

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Literatur

  1. 1.
    Oder allgemeiner: {w beliebig, z ∈ passendes einfach zusammenhängendes Gebiet Bz der z-Ebene).Google Scholar
  2. 1.
    In der Theorie der analytischen Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher wird gezeigt, daß jede im Sinne von 1. analytische Funktion in der Umgebung jeder regulären Stelle eine solche absolut konvergente Entwicklung besitzt. Hier werde vorausgesetzt, daß f (w,z) entwickelbar ist.Google Scholar
  3. 2.
    So heißt eine Potenzreihe mit positiven absolut nicht kleineren Koeffizienten.Google Scholar
  4. 3.
    Damit ist gemeint, daß die rechte Seite von (1.2.5) eine Majorante der rechten Seite von (1.1.1) ist.Google Scholar
  5. 1.
    Vgl. z. B. L. Bieberbach: Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 1, S. 203, 4. Aufl. Leipzig 1934.Google Scholar
  6. 1.
    Émile Picard hat in seinem traité d’analyse, Bd. 2, 2. Aufl., S. 357, 1905 dazu den Existenzsatz der Theorie der partiellen Differentialgleichungen herangezogen. E. L. Ince hat in seinem verdienstvollen Buch 1927 darauf aufmerksam gemacht, daß Meyer Hamburgers Frage nach den gebrochenen Potenzen sich einfach durch den Hinweis erledigt, daß solche Lösungen bei z0 Ableitungen genügend hoher Ordnung aufweisen müßten, die nicht mehr endlich sind. Ince hat dort darüber hinaus einen Beweis des im Text zu formulierenden Satzes von Painlevé für den Fall der Annäherung auf Wegen endlicher Länge gegeben. Aber auch er hat nicht bemerkt, daß P. Painlevé bereits 1897 in seinen Stockholmer Vorlesungen von 1895 den hier wiedergegebenen Beweis geliefert hat, der in seiner Einfachheit den Nagel auf den Kopf treffen dürfte. Aber vielleicht muß man erst selbständig auf den Beweisgedanken gekommen sein, um die knappe Andeutung auf S. 19 bis 20 bei Painlevé recht zu verstehen.Google Scholar
  7. 1.
    Im Falle einer eindeutigen Funktion f (w,z) kann man das alles etwas einfacher formulieren.Google Scholar
  8. 2.
    f (w,z) ist dabei an der Stelle (w0, z0) durch analytische Fortsetzung längs Г erklärt.Google Scholar
  9. 1.
    Man mag es sich ohne Einschränkung der Allgemeinheit als eindeutige Funktion vorstellen.Google Scholar
  10. 1.
    Die Leichtigkeit, mit der sich dieser Schluß ergibt, ist der Grund dafür, daß man nach Poincaré nicht mit der Majorante (1.5.6) sondern eben mit (1.5.7) arbeitet. Man vergleiche indessen eine Arbeit von O. Perron : Math. Ann. Bd. 113. Freilich machten die funktionentheoretischen Belange gewisse Abänderungen der Poincaréschen Majoranten notwendig.Google Scholar
  11. 2.
    Beziehungsweise in einer g enthaltenden Kreisscheibe.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1953

Authors and Affiliations

  • Ludwig Bieberbach

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