Zusammenfassung
Ich nehme sie in der Normalform
an. Es gilt der folgende Existenzsatz: Die Funktion f(w, z) sei in einem Gebiet1 G der komplexen Veränderlichen (w, zeindeutig und analytisch 2 . Es bedeute w’ die Ableitung dwjdz. Es sei (w 0 , z 0) eine Stelle aus G. Dann gibt es genau eine in einer Umgebung |z -z 0 | < R von z 0 reguläre analytische Funktion w(z), die 1. der Anfangsbedingung w(z 0) =w 0 genügt, für die 2. (w(z),z)(z∈G und 3. w’(z) = f (w (z), z) für alle z ∈|z-z 0 | < R erfüllt ist. Eine solche Funktion heißt Lösung oder Integral der Differentialgleichung w’ =f( w, z ).
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Literatur
Oder allgemeiner: {w beliebig, z ∈ passendes einfach zusammenhängendes Gebiet Bz der z-Ebene).
In der Theorie der analytischen Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher wird gezeigt, daß jede im Sinne von 1. analytische Funktion in der Umgebung jeder regulären Stelle eine solche absolut konvergente Entwicklung besitzt. Hier werde vorausgesetzt, daß f (w,z) entwickelbar ist.
So heißt eine Potenzreihe mit positiven absolut nicht kleineren Koeffizienten.
Damit ist gemeint, daß die rechte Seite von (1.2.5) eine Majorante der rechten Seite von (1.1.1) ist.
Vgl. z. B. L. Bieberbach: Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 1, S. 203, 4. Aufl. Leipzig 1934.
Émile Picard hat in seinem traité d’analyse, Bd. 2, 2. Aufl., S. 357, 1905 dazu den Existenzsatz der Theorie der partiellen Differentialgleichungen herangezogen. E. L. Ince hat in seinem verdienstvollen Buch 1927 darauf aufmerksam gemacht, daß Meyer Hamburgers Frage nach den gebrochenen Potenzen sich einfach durch den Hinweis erledigt, daß solche Lösungen bei z0 Ableitungen genügend hoher Ordnung aufweisen müßten, die nicht mehr endlich sind. Ince hat dort darüber hinaus einen Beweis des im Text zu formulierenden Satzes von Painlevé für den Fall der Annäherung auf Wegen endlicher Länge gegeben. Aber auch er hat nicht bemerkt, daß P. Painlevé bereits 1897 in seinen Stockholmer Vorlesungen von 1895 den hier wiedergegebenen Beweis geliefert hat, der in seiner Einfachheit den Nagel auf den Kopf treffen dürfte. Aber vielleicht muß man erst selbständig auf den Beweisgedanken gekommen sein, um die knappe Andeutung auf S. 19 bis 20 bei Painlevé recht zu verstehen.
Im Falle einer eindeutigen Funktion f (w,z) kann man das alles etwas einfacher formulieren.
f (w,z) ist dabei an der Stelle (w0, z0) durch analytische Fortsetzung längs Г erklärt.
Man mag es sich ohne Einschränkung der Allgemeinheit als eindeutige Funktion vorstellen.
Die Leichtigkeit, mit der sich dieser Schluß ergibt, ist der Grund dafür, daß man nach Poincaré nicht mit der Majorante (1.5.6) sondern eben mit (1.5.7) arbeitet. Man vergleiche indessen eine Arbeit von O. Perron : Math. Ann. Bd. 113. Freilich machten die funktionentheoretischen Belange gewisse Abänderungen der Poincaréschen Majoranten notwendig.
Beziehungsweise in einer g enthaltenden Kreisscheibe.
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Bieberbach, L. (1953). Die grundlegenden Existenzsätze. In: Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 66. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01216-1_1
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