Zusammenfassung
Voraussetzungen in Kapitel III. Der Grundkörper k ist entweder ein endlich algebraischer Zahlkörper oder ein Körper algebraischer Funktionen einer Variablen von endlichem Grade über einem endlichen Konstantenkörper von ungerader Primzahlcharakteristik.
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Anmerkungen
B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, Bd. I, 3. Aufl., Berlin 1950.
H. Hasse, Zahlentheorie, Berlin 1949.
Das kommt auch in dem Dirichlet schen Einheitensatz für die Ordnung o zum Ausdruck. Er lautet in allgemeinster Forrn : gibt es r unendliche Primdivisoren, so gibt es r— 1 Einheiten von o derart, daß sich jede Einheit aus o in eindeutiger Weise als ein Potenzprodukt von diesen, mal einer in k enthaltenen Einheitswurzel darstellen läßt.
Uneigentliche ähnliche Gitter gibt es unter den Voraussetzungen von Kapitel II nicht auf Grund von Satz 10.5.
Siehe Anm. [4] in Kapitel II.
Die Frage, welche Zahlen aus k als Spinor-Normen auftreten, läßt sich mittels (4.9) leicht beantworten.
Wir gehen auf die Kompositionstheorie im eigentlichen Sinne nicht ein, sondern berichten in freier Form über den durch sie erfaßten Sachverhalt. Im Falle binärer quadratischer Formen stammt sie von C. F. Gauß, man findet sie dargestellt in älteren Lehrbüchern der Zahlentheorie. Die Kompositionstheorie der quaternären quadratischen Formen hat H. Brandtentwickelt. Ihre Anwendung auf die Arithmetik der Quaternionen-Algebren findet man in seiner Idealtheorie in Quaternionen-Algebren, Math. Annalen 99, S. 1–29, 1928.
Zur Zahlentheorie der Quaternionen, Jahresber. Deutsche Math.-Vereinigg. 53, S. 23–57, 1943. Vgl. auch Ch. Hermite, Œuvres I, S. 200–220.
M. Eichler bestätigt diese Vermutung in vielen Fällen, z. B. wenn k der rationale Zahlkörper ist: Math. Ztschr. 55, S. 216–252, 1952.
Man wird aus dem Beweis erkennen, daß bereits schwächere Voraussetzungen als die Maximalität von I und K ausreichen. — Für solche Gitter fallen also Geschlechter, Spinor-Geschlechter und Ähnlichkeitsklassen zusammen.
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Eichler, M. (1952). Die elementare Arithmetik der metrischen Räume über algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern. In: Quadratische Formen und Orthogonale Gruppen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 63. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01212-3_4
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