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Die Grundbegriffe der Elastizitätslehre

  • K. Marguerre

Zusammenfassung

Die Statik des starren Körpers beantwortet die Frage nach der Übertragung von Kräften ausschließlich mit Hilfe der Gleichgewichtsaussagen: Die Größe einer durch einen Zugstab weitergeleiteten Kraft, die Beanspruchung der Auflager einer einfachen Balkenbrücke oder eines Kragträgers sind die einfachsten Beispiele für die elementare Bestimmung einer Auflagerkraft aus den gegebenen Lasten (Fig. 1).

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Literatur

  1. 1.
    Diese Aufspaltung ist übrigens nur sinnvoll bei doppeltsymmetrischen oder punktsymmetrischen Querschnitten. Denn bei unsymmetrischen Querschnitten muß die Resultierende der äußeren Querlasten nicht durch den Schwerpunkt, sondern durch den Schubmittelpunkt gehen, wenn sie keine tordierende Wirkung ausüben soll (C. Weber: Forsch.-Arb. Ing.-Wes. 249 ). Nur die Tangentialkomponente der äußeren Kraft zerlegt man stets in die durch den Schwerpunkt gehende Resultierende und ein verbiegendes Moment. Vgl. dazu neuerdings • W. Flügge und K. Marguerre Wölbkrafttorsion dünnwandiger Profile. Ing. Arch. 1949.Google Scholar
  2. 1.
    Siehe auch die „Membran“theorie der Schalen, Kap. III, Ziff. 2.Google Scholar
  3. 1.
    Kap. VI, Ziff. B.Google Scholar
  4. 2.
    Übrigens ist — wie sich im VI. Kapitel zeigen wird — das Verfahren, die Gleichgewichtsaussagen am unverformten, statt (wie man es eigentlich tun müßte) am verformten Element auszusprechen, nur bei kleinen Verschiebungsableitungen zulässig, so daß neben den Gleichgewichtsbedingungen (12) nur die Gln. (33) benutzt werden dürfen.Google Scholar
  5. 1.
    Bei Anwesenheit von Massenkräften X,Y muß man den Ansatz (49) entsprechend erweitern; siehe z. B. Nannr: Elast. Platten, S. 225. Berlin 1925.Google Scholar
  6. 2.
    Techn. Dynamik, S. 123ff.Google Scholar
  7. 3.
    Beispiele insbesondere bei Trmoshenko: Theory of Elasticity. New York 1935. — Nadai: Siehe Fußnote 1.Google Scholar
  8. 1.
    Vgl. z. B. Gran Olsson: Z. angew. Math. Mech. 1935, S. 295. — Stahlbau 1931, S. 13 — Bauingenieur Aug. 1937.Google Scholar
  9. 2.
    Eine sehr schöne („zweidimensionale“) Herleitung der Korrekturgröße 1/x = 1,2 findet man bei TmrosHErr%o: Theory of elasticity, Ziff. 17, 41.Google Scholar
  10. 3.
    Zum Beispiel K. Marguerre: Torsion von Voll-und Hohlquerschnitten. Bauingenieur 1940, S.,317.Google Scholar
  11. 1.
    Da eine zusammenfassende Darstellung noch fehlt, verweisen wir auf die Bemerkungen bei R. Kappus: Drillknicken gedrückter Stäbe mit offenem Profil. Luftf.-Forschg. 1937, S. 445 (bei dünnwandigen offenen Profilen, I, usw., können die Wölbstörspannungen das Verhalten des Stabes besonders stark beeinflussen) und bei H. Ebner: Vielzelliger Kastenträger. Jb. dtsch. Versuchsanst. Luftf. 1933, III, S. 74. — Ferner Marguerre: Ringbuch der Luftfahrtforschung II A, und neuerdings W. Flügge u. K. Marguerre: Wölbkräfte in dünnwandigen Profilen, Ing.Arch. Bd. 18 (1950).Google Scholar
  12. 2.
    Vgl. hierzu z B K Marguerre: Torsion von Voll-und Hohlquerschnitten. Bauingenieur 1940, S. 317.Google Scholar
  13. 3.
    Techn. Dynamik, S. 305ff.Google Scholar
  14. 1.
    Wir beschränken uns hier auf kleine Deformationen, wo die Gleichgewichtsbedingungen (12) am unverformten Element und die Verzerrungsdefinitionen in der linearisierten Gestalt (33) gelten.Google Scholar
  15. 1.
    Das Zeichen S bedeutet eine gewöhnliche Integration, nur nicht über Raumelemente dx...,sondern über Verformungsschritte du… Die beiden Operationen durch das Zeichen zu unterscheiden, ist zweckmäßig, weil es das Lesen der Formel erleichtert.Google Scholar
  16. 2.
    Die kindische Energie spielt bei hinreichend langsamer Verformung für den Energiehaushalt des elastischen Körpers keine Rolle (siehe aber das IV. Kapitel).Google Scholar
  17. 3.
    Vgl. dazu R. Kappiis: Z. angew. Math. Mech. 1939, S. 271.Google Scholar
  18. 1.
    Wir sprechen vom Volumenelement dx dy • 1 = dx dy,da alle ÏTberlegungen unverändert auf das eigentlich dreidimensionale Element dx dy dz übertragbar sind.Google Scholar
  19. 2.
    Bei ihrer Herleitungwar nur von der Kleinheit der Deformation Gebrauch geinaeht werden. Es läßt sich eine ähnlich einfache Formel aber auch bei großen Deformationen angeben.Google Scholar
  20. 1.
    Siehe oben Ziff. 3 und 5. diesem Falle streng Man kann sie aber als Näherungsausdrücke auch für den durch verteilte Lasten beanspruchten Stab beibehalten, wenn die übrigen Schnittspannungen (z bei Biegung, vbei Torsion) so klein sind, daß man ihren Anteil an der Formänderungsenergie weglassen darf. Diese Annahme ist gleichbedeutend mit der von Ziff. 7, daß man die unmittelbare Verformungswirkung der Zusatzspannungen vernachlässigen dürfe.Google Scholar
  21. 1.
    Vgl. dazu Handbuch der Physik VI, S. 110.Google Scholar
  22. 2.
    Vgl. dazu E. Trefftz: Ableitung der Schalenbiegungsgleicbungen mit dem Castiglianoschen Prinzip. Z. angew. Math. Mech. Bd. 15 (1935) S. 101. — Ferner K. Merrqueure Bestimmung der Verzerrungsgrößen. Z. angew. Math. Mech. Bd. 21 (1941) S. 218.Google Scholar
  23. 2.
    Es entspricht dies der bekannten Tatsache, daß die Stellen, wo eine gewöhnliche Funktion y(x) „ihren Wert nicht ändert“ (Maximum oder Minimum der Funktion), gekennzeichnet sind durch das Verschwinden der Ableitung oder des Differentials dy = y’ dx: dy’= O.Google Scholar
  24. 1.
    Zum Ritzschen Verfahren vgl. auch Kap. V, Ziff. 6, Kap. VI, Ziff. 9.Google Scholar
  25. 1.
    Siehe dazu Kap. V, Ziff. 7, Verfahren von GalerhinGoogle Scholar
  26. 2.
    Der Leser führe die einfache Rechnung, die zu der an (100) anknüpfenden analog verläuft, durch!Google Scholar
  27. 1.
    Zum Verfahren der Iteration vgl. das schon erwähnte Buch von Coll11z: Eigenwerte und ihre numerische Behandlung. Leipzig, 1945.Google Scholar
  28. 1.
    Siehe Gl. (108). Das Prinzip der virtuellen Kräfte wird vielfach, statt nach Menabrea, nach Castigliano genannt Diese Bezeichnungsweise widerspricht dem historischen Tatbestand (Mei Abrea hat das Prinzip ein Jahrzehnt vor dem Erscheinen der berühmt gewordenen Arbeit von Castigliano ausgesprochen) und ist überdies unzweckmäßig, weil Castigliano nicht nur den obenerwähnten „zweiten“ Satz ausgesprochen hat, der letzten Endes eine besondere Formulierung des Prinzips virtueller Kräfte darstellt, sondern noch einen „ersten”, der aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen entspringt, so daß eine Kontraposition „virtuelle Verschiebungen“ i-+ „Castigliano” dazu beiträgt, den wesentlichen Unterschied zwischen den beiden Energieprinzipen zu verwischen.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1950

Authors and Affiliations

  • K. Marguerre
    • 1
  1. 1.DarmstadtDeutschland

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