Zusammenfassung
Sei A normal. Nach V. 2 existiert \( B = {(I + A*A)^{ - 1}} \) und ist eine beschränkte selbstadjungierte Transformation, \( 0 \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} {\rm{B }} \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} {\rm{I}} \) . Aus \( A*A = AA*,\;(I + A*A)B = I \) und \( B(I + A*A)\,\underline{\underline \subset } \,I \) folgt \( BA = BA(I + A*A)B = B(A + AA*A)B = B(A + A*AA)B = B(I + A*A)AB\,\underline{\underline \subset } \,AB \) also B𝔳A.
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Referenzen
Die Erkenntnis, daß die allgemeinen selbstadjungierten Transformationen es sind, die eine Darstellung fλ d Eλ zulassen, stammt von E. Schmidt, vgl. v. Neumann [1] (S. 62) . Der erste, von v. Neumann [1] gegebene Beweis, wird in Viii. 2 reproduziert. Der von Stone [1] und [*] (Kap. 5) gegebene Beweis wendet eine Methode an, die Carleman [*] in seinen Untersuchungen über nichtbeschränkte Integraloperatoren benutzt hat. Weitere Beweise bei Riesz [2], Koopman-Doob [1], Riesz-Lorch [1], Lengyel [1]. — Für den Fall allgemeiner normaler Transformationen war der Satz von v. Neumann [2], [5] gefunden. Siehe auch Stone [*] (Kap. 8, § 3) sowie Teichmüller [1] (§ 14), Nakano [1] und Kodaira [1]. Der oben angeführte Beweis ist eine Übertragung des ersten von Riesz-Lorch gegebenen Beweises von selbstadjungierten auf allgemeine normale Transformationen.
Vgl. Friedrichs [1] (I. Mitt.).
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© 1967 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Szõkefalvi-Nagy, B. (1967). Kanonische Spektraldarstellung allgemeiner selbstadjungierter und normaler Transformationen. In: Spektraldarstellung linearer Transformationen des Hilbertschen Raumes. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol 39. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00955-0_9
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