Spektraldarstellung von Gruppen und Halbgruppen linearer Transformationen

Zusammenfassung

Wenn {E_λ} eine beliebige Spektralschar ist, dann sind die Trans formationen ${{U}_{t}} = \int\limits_{{ - \infty }}^{\infty } {{{e}^{{2\pi t\lambda i}}}d{{E}_{\lambda }}( - \infty < t < \infty )}$ unitär und bilden eine einpar ametrige kontinu ierliche Gruppe. In der Tat, es ist U _t U _s = U _t+s und U₀ = I; wenn sπt dann U _s U _t weil aus ${{e}^{{2\pi s\lambda i}}} \to {{e}^{{2\pi t\lambda i}}}$ folgt

$$ {{\left\| {{{U}_{s}}f - {{U}_{t}}f} \right\|}^{2}} = \int\limits_{{ - \infty }}^{\infty } {{{{\left| {{{e}^{{2\pi s\lambda i}}} - {{e}^{{2\pi t\lambda i}}}} \right|}}^{2}}d({{E}_{\lambda }}f,f) \to 0.} $$