Anwendungen der Mathieuschen Funktionen und der Sphäroidfunktionen

Zusammenfassung

Die Mathieusche Differentialgleichung 2.11., (1), in der Gestalt

$$\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} + (A - B\cos \omega t)y = 0$$

(1)

mit drei Konstanten A, B und ω ist einer einfachen physikalischen Interpretation fähig. Sie kann z. B. als Bewegungsgleichung eines Massenpunktes von einem Freiheitsgrad aufgefaßt werden, auf den eine zur Elongation y proportionale, im Rhythmus einer festen Frequenz ω harmonisch schwankende Kraft wirkt. Speziell für A > |B| beschreibt sie die Bewegung eines linearen harmonischen Oszillators mit harmonisch veränderlicher Federkonstante. Diese Differentialgleichung ergibt sich auch bei vielen Problemen der Elastizitätstheorie mit harmonisch in der Zeit verlaufender äußerer Einwirkung. Dieselbe Differentialgleichung beschreibt den zeitlichen Verlauf der elektrischen Ladung auf einem Kondensator in einem Stromkreis mit der konstanten Induktivität L und der periodisch veränderlichen Kapazität C = L ⁻¹ (A — B cos ω t)⁻¹, wie sie näherungsweise ein Kondensatormikrophon beim Besprechen mit einem reinen Ton der Frequenz ω besitzt. Schwingungskreise mit periodisch veränderlicher Induktivität oder periodisch veränderlichem Widerstand lassen sich ebenfalls, nach geeigneter Transformation der abhängigen Veränderlichen, näherungsweise durch die Differentialgleichung (1) beschreiben, falls die Änderungen harmonisch und ihre Amplituden klein sind.