Grundlagen

  • Josef Meixner
  • Friedrich Wilhelm Schäfke
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 71)

Zusammenfassung

Seien x 1, x 2, x 3 kartesische Koordinaten im Raume, und denken wir uns in einem Bereiche B x beliebige krummlinige Koordinaten ξ 1, ξ 2, ξ 3 durch eine umkehrbar eindeutige, in beiden Richtungen zweimal stetig differenzierbare Abbildung von B x auf einen Bereich B ξ des (ξ 1, ξ 2, ξ 3)-Raumes eingeführt. Dann sind die Funktionalmatrizen der Abbildung und ihrer Umkehrung zueinander reziprok. Setzen wir also
$$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {x_i}}}{{\partial {\xi _k}}} = \alpha _k^i,}&{\frac{{\partial {\xi _i}}}{{\partial {x_k}}} = \beta _k^i}&{(i,k = 1,2,3),} \end{array}$$
(1)
so gelten die Biorthogonalitätsrelationen
$$\alpha _j^i\beta _k^j = \beta _j^i\alpha _k^j = \delta _k^i = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1(i = k)} \\ {0(i \ne k).} \end{array}} \right\}$$
(2)
Hier wie im folgenden wird, falls nicht ausdrücklich anders vermerkt, über jeden Index von 1 bis 3 summiert, der in einem Produkt mehr als einmal vorkommt, falls dieser Index auf der anderen Seite der betreffenden Gleichung nicht auftritt. Wegen (2) sind die Funktionaldeterminanten
$$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial ({x_1},{x_2},{x_3})}}{{\partial ({\xi _1},{\xi _2},{\xi _3})}} \ne 0,}&{\frac{{\partial ({\xi _1},{\xi _2},{\xi _3})}}{{\partial ({x_1},{x_2},{x_3})}} \ne 0} \end{array}$$
(3)
zueinander reziprok.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1954

Authors and Affiliations

  • Josef Meixner
    • 1
  • Friedrich Wilhelm Schäfke
    • 2
  1. 1.Technischen HochschuleAachenDeutschland
  2. 2.UniversitätMainzDeutschland

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