Gestalt freier flüssiger Körper

Zusammenfassung

Wir hatten oben gesehen, daß freie, keinen äußeren Einwirkungen ausgesetzte Oberflächen, also etwa solche von flüssigen Körpern, in spezifisch gleich schwerer flüssiger Umgebung oder solche von frei schwebenden einzelnen Blasen, als Flächen konstanter mittlerer Krümmung durch die Gauß-Laplacesche Gleichung

$$ \frac{1} {{{r_1}}} + \frac{1} {{{r_2}}} = 2c = kons\tan t $$

((10))

beschrieben werden. Drücken wir die Krümmungsradien r₁ und r₂ nach den Regeln der Differentialgeometrie aus, so nimmt Gl. (10) die Form der Differentialgleichung

$$ {\frac{{\frac{{{d^2}z}} {{d{x^2}}}\left[ {1 + {{\left( {\frac{{dz}} {{dy}}} \right)}^2}} \right] - 2\frac{{{a^2}z}} {{dxdy}} \cdot \frac{{dz}} {{dx}} \cdot \frac{{dz}} {{dy}} + \frac{{{d^2}z}} {{d{y^2}}}\left[ {1 + \left( {\frac{{dz}} {{dx}}} \right)} \right]}} {{{{\left( {\frac{{dz}} {{dx}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dz}} {{dy}}} \right)}^2} + 1}}^2} = 2c $$

((10a))

an. Als Flächen, welche dieser Gleichung genügen, hatten wir Minimalflächen (c = 0) und Kugeln und Kugelkalotten kennengelernt. Wir wollen nunmehr die Frage, welcherlei Formen der Gl. (10) genügen, allgemeiner beantworten.