Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Zusammenfassung

Bei unseren Überlegungen zu den charakteristischen Funktionen haben wir bereits einige spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen kennengelernt, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Rolle spielen. Es handelte sich um Beispiele von stetigen Wahrscheinlichkeitsdichten mit besonders einfachen charakteristischen Funktionen. Unter ihnen spielt vor allem die Gausssche oder normale Verteilung in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Rolle, so daß wir ihr in diesem Kapitel einen besonderen Paragraphen widmen werden. Mathematisch einfacher sind aber die ursprünglich eingeführten zufälligen Variablen, die nur endlich vieler Werte fähig sind ; wir hatten auch für sie verschiedene Beispiele kennengelernt. Als besonders einfach erscheint eine zufällige Größe, wenn sie mit positiver Wahrscheinlichkeit nur zweier Werte α₁ und α₂ fähig ist. In der maßtheoretischen Sprache ist das also eine Punktfunktion α₁ + (α₂ - α₁) ·X(x) auf dem Wahrscheinlichkeitsfeld (M, 𝕳, ρ ), wobei χ (x) die Indikatorfunktion zu einem Ereignis aus M ist. Es läge daher nahe, zunächst die Untersuchung von zufälligen Größen mit nur endlich vielen Werten weiterzuführen, wobei besonders interessiert, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Summen aus unabhängigen solchen zufälligen Größen aussieht, wenn die einzelnen Summanden untereinander übereinstimmende Verteilungen besitzen.