Zusammenfassung
Im ersten Band sowie in Kap. IV dieses Bandes ist der Zusammenhang von Randwert- und Eigenwertproblemen elliptischer Differentialgleichungen mit der Variationsrechnung ausführlich diskutiert worden. Jedoch fehlt noch ein allgemeiner Beweis für die Lösbarkeit dieser Probleme. Wir wollen nunmehr diese Existenzbeweise auf der Basis der Variationsrechnung erbringen. Dabei legen wir der Darstellung den Fall von zwei unabhängigen Veränderlichen zugrunde, bemerken aber, daß die Theorie unverändert für drei unabhängige Veränderliche gilt, abgesehen von einer Sonderbetrachtung über die Annahme der Randwerte in § 4. Bei mehr als drei unabhängigen Veränderlichen erfordert die Übertragung der Theorie eine Einschränkung (vgl. Fußnote in § 5, 1, S. 499).
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Referenzen
Vgl. Bd. I, S. 155.
Zur ausgedehnten Literatur seien nur die folgenden Abhandlungen erwähnt: Weierstrass: Über das sog. Dirichletsche Prinzip. Werke Bd. 2. Schwarz, H. A.: Ges. Abhandlungen Bd. 2, S. 133f. Neumann, C.: Sächsische Berichte, 1870 und Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Intergrale, S. 388f. Leipzig 1884.
Hilbert: Über das Dirichletsche Prinzip. Ges. Abhandlungen Bd. 3.
Levi, B.: Sul Principio di Dirichlet, G. Fubini, II principio di minimo e i teoremi di esistenza per i problemi al contorno relativi alle equazione alle derivate parziali di ordini pari. Lebesgue: Sur le problème de Dirichlet. Alle drei in den Rendiconti del Circolo matematico die Palermo, Bd. 22–24.
Zaremba, S.: Sur le principe du minimum. Krakauer Akademieberichte, Juli 1909. Ferner die Arbeiten von R. Courant seit 1912, zitiert in R. Courant: Über direkte Methoden der Variationsrechnung und verwandte Fragen. Math. Ann. Bd. 97 (1927). Über die Anwendung der Variationsrechnung usw. Acta Math. Bd. 49. Sowie: Neue Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip. Crelles Journ. Bd. 165 (1931).
Die in diesem Kapitel entwickelte Theorie stellt eine Weiterführung früherer Arbeiten des Verfassers dar; insbesondere wird ein Gedanke aus der letztgenannten Arbeit benutzt, welche sich auf die Randwertaufgabe der Potentialtheorie und auf die Existenzsätze der geometrischen Funktionentheorie bezieht.
Vgl. zu einer solchen Methode etwa A Hurwitz-Courant: Funktionentheorie, Abschn. III, S. 451 ff . Berlin 1931.
Nach der Transformation braucht der Integrand nötigenfalls nicht mehr den Bedingungen (3) und (4) zu genügen.
Für eine vollständige Entwicklung dieser Begriffe vgl. M. H. Stone: Linear Transformations in Hilbert Space. New York 1932.
Zur Definition dieser Räume und ihrer Verwendung für die Formulierung von Randbedingungen vgl. Friedrichs: Zur Spektraltheorie. Math. Ann. Bd. 109, S. 465 u. S. 685.
Es sei darauf hingewiesen, daß die hier betrachteten linearen Räume durch vollständiges Abschließen, statt durch Abschließen in Z, zu „Hilbertschen Räumen“ werden. — Die Darstellung dieses Kapitels zeigt, daß es für den vorliegenden Zweck nicht erforderlich ist, im abgeschlossenen Hilbertschen Raum zu operieren.
Man kann auch einen Raum als Menge derjenigen Funktionen aus definieren, welche in einem Randstreifen identisch verschwinden. Durch Abschließen gelangt o man wie oben zu einem Raum h. Aufgabe: Man beweise, daß die Raume und h identisch sind.
Die Poincarésche Ungleichung (Rend. Circ. Mat. Palermo 1894) drückt einfach die Tatsache aus, daß für ein Quadrat der zweite Eigenwert der Differentialgleichung (p uxz (math) mit der Randbedingung des Verschwindens der Normalenableitungen positiv ist. Vgl. auch § 6 und § 7.
Diese Ungleichung wurde anscheinend zuerst von K. Friedrichs eingeführt zur handlichen Formulierung der Vollstetigkeit der Form H in bezug auf die Maßform D (vgl. Math. Ann. Bd. 109, S. 486). Zum Begriffe der Vollstetigkeit vgl. Encyclopädieartikel Hellinger u. Toeplitz: Encyclopädie der math. Wiss. Bd. II. C. 13.
Vgl. Retlich: Gött. Nachr. 1930, sowie auch Bd. I, S. 359.
Wir werden in § 8 zeigen, daß die hier geforderte Beschränkung von φ auf statt auf 5 nicht nötig ist, falls wir für das Gebiet G gewisse einschränkende Voraussetzungen machen.
Hinsichtlich der ganz anders liegenden Verhältnisse bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen sei nochmals auf die Bemerkungen in Kap. IV, S. 273 und auf die auf S. 285 zitierten Resultate von N. Wiener verwiesen.
Es sei darauf hingewiesen, daß die oben erwähnte automatische Vereinfachung für die Differentialgleichung A u = 0 gerade beim Beweise des Satzes 1 auftritt.
Beweis: Wir schöpfen zunächst G’ mit einer endlichen Anzahl voneinander nicht überdeckenden Quadraten mit Seitenlangen kleiner als 2 s aus, so daß der Restbereich einen Inhalt kleiner als ε22 besitzt. In jedem der Quadrate betrachten wir den eingeschriebenen Kreis. Die verbleibenden Restbereiche bedecken wir wiederum mit Quadraten, so daß der Flächeninhalt des übrig bleibenden Bereiches kleiner als ε2 4 wird, nehmen nun die eingeschriebenen Kreise dieser neuen Quadrate hinzu usw. in geometrischer Progression. Es ist dann offenbar eine Kreispflasterung der angegebenen Art gewonnen.
Die Aussage folgt unmittelbar aus der elementaren Integraldefinition, welche allerdings in einer etwas ungewohnten Form ausgenutzt wird.
Mit anderen Worten: Aus der starken Konvergenz der Folge φ in sich im Sinne der D- und der H-Metrik und aus der schwachen Konvergenz der Funktionen φv gegen die Grenzfunktion u im Sinne der H-Metrik für jedes abgeschlossene Teilgebiet von G folgt die starke Konvergenz derφgegen u sowohl in der H-Metrik als auch in der D-Metrik.
Zu diesem Begriff siehe Bd. I, Kap. IV, § 5.
Vgl. Courant: Crelles Journ. Bd. 165, S. 249 ff. und Hurwitz-Courant: Funktionentheorie, Teil III.
Zum Beweise vgl. Courant: Crelles Journ. Bd. 165, S. 25 5 ff . bzw. Hurwitz-Courant: Funktionentheorie, Abschnitt III.
Vgl. A Hurwitz-Courant: Funktionentheorie, 1931, S. 471 ff.
Das erste Randwertproblem der Platte wurde von der Variationsrechnung her zum ersten Male von G. FuBInI gelöst. (Vgl. Il principio di minimo e i teoremi di existenza .... Rendiconti Palermo, 1907.) Sowohl Randwert- als auch Eigenwertproblem wurde von W. RITZ behandelt [Crelles Journal Bd. 135 (1909) und Ann. Physik 1909, sowie gesammelte Abhandlungen passim] . Vgl. im übrigen auch für andere Randbedingungen zur hier gegebenen Darstellung insbesondere K. Friedrichs: Math. Ann. Bd. 98 (1927) S. 206f.
Vgl. zu dieser Methode u. a. Courant: Math. Ann. Bd. 97.
Die erste allgemeine Lösung des Plateauschen Problemes wurde 1932 unabhängig von J. Douglas und T. Rads gegeben. Literatur siehe vor allem bei RAD6: On the problem of Plateau. Erg. Math. Bd. 2. 1933, und Douglas: Bull. Amer. math. Soc. 1933, S. 227 ff. Die vorliegende Darstellung beruht auf den Abhandlungen von R. Courant: Nat. Ac. Sci. Wash., Juni 1936, S. 368ff. und Ann. Math. Bd. 38 (1937) S. 679ff.
Douglas geht von einem neuartigen Minimumproblem für ein Funktional aus, welches das Dirichletsche Integral unter Beschränkung auf Potentialfunktionen durch ein Randintegral ausdrückt, während hier ohne diese Beschränkung das Dirichletsche Integral selbst als Grundlage dient. RAD6 benutzt konforme Abbildung von Polyedern als wesentliches Hilfsmittel.
Eindeutige Umkehrbarkeit der Abbildung wird nicht ausdrücklich im Problem gefordert — ergibt sich vielmehr als Konsequenz von selbst (vgl. z. B. Courant, Ann. of Math. Bd. 38, S. 696) .
Vgl. Fußnote auf S. 473.
Für einen solchen konzentrischen Kreis können wir ohne weiteres das Gebietsintegral D [r] in das sogleich zu benutzende Doppelintegral auflösen.
Das hier gelöste Plateausche Problem ist ein Spezialfall einer Aufgabe, welche in voller Allgemeinheit 1930 von Douglas formuliert wurde: Die Existenz einer Minimalfläche mit k gegebenen Randkurven und vorgeschriebenem topologischen Typus zu beweisen. Douglas hat zunächst den Fall von Minimalflächen vom Typus des Kreisringes und des Möbiusschen Bandes in zwei Arbeiten, Journ. Math, and Phys. Bd. 10, S. 3l6ff. und Transactions Am. Math. Soc. Bd. 34, S. 731 ff. erledigt und neuerdings in Journ. Math, and Phys. Bd. 15 (Februar bzw. Juni 1936) S. 5 5 ff-, bzw. S. 106ff., das bei weitem schwierigere allgemeine Problem mit Hilfe der Theorie der Abelschen Funktionen und auf Grund der Methoden aus den eben genannten Arbeiten behandelt. In den auf S. 535, Fußnote 2, zitierten Arbeiten von R. Courant wird ebenfalls das allgemeine Problem von Douglas behandelt; die dort entwickelte Methode ist auch auf das Problem mit freien Rändern anwendbar.
Rights and permissions
Copyright information
© 1968 Springer-Verlag Berlin · Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Courant, R., Hilbert, D. (1968). Lösung der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung. In: Methoden der Mathematischen Physik II. Heidelberger Taschenbücher, vol 31. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00844-7_7
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-00844-7_7
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-540-04178-8
Online ISBN: 978-3-662-00844-7
eBook Packages: Springer Book Archive