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Hyperbolische Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen

  • R. Courant
  • D. Hilbert
Part of the Heidelberger Taschenbücher book series (HTB, volume 31)

Zusammenfassung

Während elliptische Differentialgleichungen im allgemeinen physikalischen Gleichgewichtszuständen entsprechen, werden Schwingungen und Ausbreitungsvorgänge durch hyperbolische Differentialgleichungen dargestellt — den Grenzfall der parabolischen Differentialgleichungen lassen wir hier beiseite — wobei dann als eine der beiden unabhängigen Veränderlichen die Zeit t auftritt (vgl. Kap. III, § 7).

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Referenzen

  1. 1.
    Während für zwei unabhängige Veränderliche x, t mathematisch die Rolle der beiden Veränderlichen in der Differentialgleichung nicht verschieden ist, besteht, wie wir in Kapitel VI sehen werden, für mehr Veränderliche ein grundsätzlicher Unterschied zwischen „raumartigen“ Flächen mit „raumartigen“ Koordinaten und zeitartigen Koordinaten.Google Scholar
  2. 1.
    Zur Literatur siehe Fußnote S. 379.Google Scholar
  3. 1.
    In dieser Hinsicht stellt sie ein Analogon zu der Darstellung der Lösung einer Randwertaufgabe mit Hilfe der Greenschen Funktion dar (vgl. Kap. IV, § 2, 1).Google Scholar
  4. 1.
    Siehe Picard: Traité d’analyse, Bd. 2.Google Scholar
  5. 1.
    Vgl. Anmerkung auf S. 312.Google Scholar
  6. 1.
    Diese Lösung verdankt man Hans Lewy (vgl. Math. Ann. Bd. 97, S. 179ff., sowie K. Friedrichs und H. Lewy: Math. Ann. Bd. 99, S. 200 ff.) Siehe auch die Darstellung bei J. Hadamard: Leçons sur le problème de Cauchy, S. 487 ff. Paris 1932.Google Scholar
  7. 1.
    Ein solches Differentialgleichungssystem ist auch schon früher als charakteristisches Differentialgleichungssystem studiert worden. Man hat jedoch diese Differentialgleichungen immer als gewöhnliche Differentialgleichungen aufgefaßt, indem man jeweils nur eine der charakteristischen Scharen betrachtete. Im Gegensatz zur Charakteristikentheorie bei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung ergeben sich bei einer solchen Auffassung für die fünf gesuchten Funktionen zu wenig Differentialgleichungen, also ein unterbestimmtes System, so daß die Integrationstheorie dadurch nicht zum Abschluß gebracht werden könnte. Der neue von Hans Lewy eingeführte Gedanke, die beiden charakteristischen Parameter α und ßgleichzeitig als unabhängige Veränderliche einzuführen und dann die charakteristischen Differentialgleichungen als partielle Differentialgleichungen aufzufassen, liefert jedoch mit einem Schlage die genügende Anzahl von Differentialgleichungen, j a sogar ein scheinbar überbestimmtes System. In dieser Wendung liegt der entscheidende Punkt bei dem durch Hans Lewy über die klassische Theorie hinaus erzielten Wesentlichen Fortschritt.Google Scholar
  8. 1.
    Diese beiden letzten Gleichungen sind nichts anderes als die Aussage der gegebenen Differentialgleichung (1) längs der Charakteristiken entsprechend der allgemeinen Theorie von § 1.Google Scholar
  9. 1.
    Als charakteristische Gleichung des Differentialgleichungssystems würde sich übrigens nach der Methode von § 2, 3 einfach die mte Potenz dieser letzten Gleichung ergeben.Google Scholar
  10. 2.
    Es ist also C2 von vornherein als Integralstreifen zweiter Ordnung vorausgesetzt. Im Grunde genommen ist natürlich nur ein Streifen erster Ordnung vorgebbar; aber ähnlich wie bei erster Ordnung ist unsere jetzige Formulierung bequemer, weil sie die Diskussion der Auflösbarkeit der betreffenden Gleichungssysteme vermeidet.Google Scholar
  11. 1.
    Friedrichs u. Lewy: Math. Ann. Bd. 99, a. a. O.Google Scholar
  12. 1.
    Math. Ann. Bd. 101, S. 609ff.Google Scholar
  13. 1.
    Im Falle unserer Differentialgleichung könnte der Beweis im Prinzip ebenso einfach durch Anwendung potentialtheoretischer Methoden gewonnen werden. Jedoch besitzt die hier dargestellte Methode von HANS LEWY ein prinzipielles Interesse und öffnet den Zugang zu weiteren Problemen [vgl. Math. Ann. Bd. 104, S. 325 ff. — Trans. Amer. Math. Soc. Bd. 37 (1935) S.417 ff. u. Bd. 41 (1937) S. 365 ff.].Google Scholar
  14. 1.
    Lewy: Math. Ann. Bd. 101, sowie eine Darstellung des Lewyschen Beweises bei Hadamard, 1. c.Google Scholar
  15. 2.
    Vgl. z. B. E. Hopf: Math. Ztschr. Bd. 34, S. 194 ff.Google Scholar
  16. 1.
    Diese Zwischenschaltung empfahl sich für die Darstellung, weil so die Schwierigkeit in verschiedene Stufen zerlegt wird. Prinzipiell aber stellt sie keine Verkürzung des Beweises dar.Google Scholar
  17. 1.
    Lewy, l. c., Hadamard, l. c. und Friedrichs-Lewy, l. c.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1968

Authors and Affiliations

  • R. Courant
  • D. Hilbert

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