Durch multiplikative zahlentheoretische Funktionen definierte Mengen

Zusammenfassung

Die oben zu Beginn von 19.1. erklärten ϰ-abundanten Zahlen lassen sich noch in anderer Weise als in 19. verallgemeinern. Setzt man $f(n) = \frac{{\sigma (n)}}{n}(\sigma (n)$ Teilersumme), so ist f (n) multiplikativ¹ und positive

$$f({n_1}{n_2}) = f({n_1})f({n_1}),({n_1},{n_2}) = 1,f(n) \geqq f\& \# x00FC;n \geqq 1,$$

((1))

und die ϰ-abundanten Zahlen sind genau alle n, für die

$$f(n) \geqq $$

ist. Es liegt daher nahe, von beliebigen positiven, multiplikativen Funktionen (1) auszugehen und die für jedes reelle ϰ ≧ 0 durch f (n) ≧ ϰ bestimmten Mengen A _ϰ (f (x)) (oder kurz A _ϰ ) zu betrachten. Man setze noch f (0) = ∞, so daß 0 ∈ A _ϰ , also A _ϰ niemals leer ist. In gewisser Hinsicht lassen sich diese Mengen auch als Verallgemeinerung der Multiplamengen auffassen. Ist nämlich f (n) ≧ 1 und distributiv, so folgt

$$f({n_1}{n_2}) = f({n_1})f({n_2}) \geqq f({n_1}).$$

Ist also f (n) ≧ ϰ, so auch jedes Vielfache von n, und n muß wegen f (1) = 1 mindestens einen kleinsten Teiler d mit f (d) ≧ ϰ besitzen. Ist C _ϰ die Gesamtheit aller n, die keinen echten Teiler d mit f (d) ≧ ϰ besitzen, so ist offenbar A _ϰ Multiplamenge mit C _ϰ als erzeugender Menge.