Zusammenfassung
Am Ende von § 3 des vorigen Kapitels ergab sich das Problem, meromorphe Funktionen durch geometrische Eigenschaften zu charakteri- sieren; dieser Frage wollen wir uns nunmehr zuwenden. Wir haben in Kap. 2, § 8 gesehen, daß eine in einem Gebiete holomorphe Funktion eine konforme Abbildung dieses Gebietes auf ein anderes Gebiet vermittelt. Wir stellen nunmehr die umgekehrte Frage : Gegeben sind zwei Gebiete G und Γ der Ebene; gesucht ist eine holomorphe Funktion, welche die konforme Abbildung des Gebietes G auf das Gebiet Γ liefert.
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Literatur
Vgl. Fußnote 1 von S. 394.
Hierunter versteht man die volle Ebene, aus der ein einzelner Punkt entfernt ist.
Wir erwähnen noch den folgenden etwas allgemeineren Satz : Jede Funktion f(z), welche die ganze, höchstens mit einem (und ebenso mit endlich vielen) Ausnahmepunkten versehene Ebene auf ein schlichtes Gebiet umkehrbar eindeutig und konform abbildet und nirgends im Endlichen unendlich wird, ist eine ganze lineare Funktion. Da nämlich (z) nirgends im Endlichen unendlich wird, müssen die im Endlichen gelegenen Ausnahmepunkte hebbare Unstetigkeiten sein. ζ = f (z) ist demnach eine ganze Funktion; wegen der geforderten umkehrbaren Eindeutigkeit der Abbildung kann f (z) nicht ganz rational von höherem als erstem Grade sein ; f (z) kann aber auch keine ganze transzendente Funktion sein, da man sich sonst nach dem Weierstraßschen Satze (vgl. Kap. 4, § 1) jedem Punkte der ζ-Ebene beliebig annähern könnte, wenn z in geeigneter Weise gegen den Randpunkt z = ∞ rückt.
Diese, frühere Darstellungen vereinfachende Charakterisierung verdanke ich einer mündlichen Mitteilung von Herrn Caratheodory.
Die folgenden Ausführungen gelten auch bei endlich vielfach zusammenhängenden Gebieten, worauf wir aber hier nicht einzugehen brauchen.
Als Durchmesser einer Kurve wurde die größte Entfernung zwischen irgend zwei Kurvenpunkten bezeichnet.
Man beachte, daß zwei „gegenüberliegende“ Punkte der Ufer eines Schnittes hierdurch eine „Entfernung“ erhalten, die nur der halben Länge eines sie um den Schlitz verbindenden Weges entspricht.
Diesen trivialen Ausnahmefall wollen wir im folgenden ausdrücklich ausschließen.
Man kann geradezu die Primenden eines einfach zusammenhängenden Gebietes G durch die konforme Abbildung von G auf einen Kreis definieren, indem man alle Punktfolgen aus dem Kreise, welche gegen einen seiner Randpunkte R konvergieren, betrachtet und die Häufungspunkte aller der zugehörigen Folgen von Bildpunkten in G als einem Primende zugehörig bezeichnet.
In den vorigen Paragraphen wurde der Einfachheit halber z0 = 0 angenommen.
Vgl. die Fußnote zu 262.
Von einer solchen Lösung verlangen wir, daß ihre Häufungswerte bei Annäherung an eine Sprungstelle der Randfunktion zwischen den beiden Grenzwerten liegen, welche die Randfunktion an der Sprungstelle besitzt (vgl. 336).
Es sei hier darauf hingewiesen, daß uns dieser Kunstgriff erlaubt, die Lösbarkeit der Randwertaufgabe bei stückweise stetigen Randwerten als erwiesen anzusehen, falls sie für stetige Randwerte feststeht. Wir können nämlich stückweise stetige Randwerte durch Addition von Funktionen des obigen Typus in stetige Randwerte verwandeln.
Es sei hier noch auf ein anderes Verfahren zum Beweise der Stetigkeitseigenschaften hingewiesen, welches wesentlich das Häufungsstellenprinzip von Kap. 3, § 6 benutzt und es auf die Funktionen f n (z) bzw. deren Umkehrfunktionen anwendet. Vgl. L. Bieberbach : Über einen Satz des Herrn Caratheodory. Göttinger Nachrichten 1913, S. 552 bis 560.
Es ist instruktiv. dieses Verhalten bei der konformen Abbildung von Kreisbogenzweiecken der in Abb. 112 angegebenen Gestalt explizite zu verfolgen, wenn die beiden Eckpunkte gegeneinander rücken.
Daß ganz allgemein solche einschränkenden Aussagen gelten müssen, zeigt schon die Integraldarstellung der Ableitung einer Funktion f (z) mit Hilfe der Randwerte von f (z) (Kap. 2, § 7, (6)). Sind die Randwerte beschränkt und haben ihre Beträge die obere Schranke M, so ergeben sich hieraus für jeden im Innern liegenden abgeschlossenen Teilbereich auch für die Größen (Math), Schranken, die nur von M abhängen, und diese liefern wiederum Schranken für die Verzerrungen, die bei der Abbildung dieses Teilbereiches durch irgendeine Funktion aus unserer Funktionenmenge entstehen können.
Genau in dieser Weise verlief auch der alte Koebesche Beweis in der auf S. 332, Fußnote 1, zitierten Abhandlung.
Diese Funktion bildet für α = 0 den Einheitskreis auf die vom Punkte ζ = 1/4 längs der positiven reellen Achse aufgeschnittenen ζ-Ebene ab. Sucht man unter allen Funktionen der Form (1) mit der Nebenbedingung, daß diese Funktionen eine schlichte Abbildung liefern, eine Funktion extremaler Verzerrungseigenschaften, so wird uns die Lösung dieser Aufgabe durch ein solches Individuum aus der Gesamtheit aller zugelassenen Vergleichsfunktionen gegeben, welches gerade noch die Nebenbedingung erfüllt, nämlich bei Ausführung gewisser beliebig kleiner Variationen keine schlichte Abbildung mehr ergibt. Dies entspricht einem sehr allgemeinen Prinzip aus der Lehre von den Maxima und Minima mit Nebenbedingungen : Haben solche Nebenbedingungen die Gestalt von Ungleichungen, so sind diese Ungleichungen entweder ohne Einfluß auf die Lösung, oder die Lösung ist so beschaffen, daß für sie in den nicht einflußlosen Ungleichungen das Gleichheitszeichen gilt.
Der nachfolgende Beweis dieser Sätze schließt sich in der Hauptsache an die Arbeit von R. Nevanlinna : Über die schlichten Abbildungen des Einheitskreises (Oeversikt av Finska Vetensk.-Soc. Förh. Bd. 62 Avd. A., Nr. 7) an, wo auch weitere Literatur nachgewiesen ist. Verzichtet man auf die explizite Angabe der Schranken für (Math), d. h. begnügt man sich mit der Tatsache, daß allein von r abhängige Schranken existieren, so kann man den Beweis dieser Verzerrungssätze in einfacher Weise auf Grund des Häufungsstellenprinzipes (Kap. 3, § 6) führen. In dieser Art hat KOEBE zuerst diese Sätze aufgestellt und unter Benutzung eines Gedankens von Carathéodory bewiesen, als Hilfsmittel für die Untersuchung allgemeiner Abbildungsprobleme. Wir werden jedoch in den Untersuchungen der nächsten Kapitel von den Koebeschen Verzerrungssätzen keinen Gebrauch zu machen haben. — Der Drehungssatz wurde zuerst von L. Bieberbach gefunden und bewiesen.
„Sur une extension d’un principe classique de l’analyse et sur quelques propriétés des fonctions monogènes dans le voisinage d’un point singulier“, Acta math. 31 (1908), S. 381 ff.
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Hurwitz, A. (1964). Die konforme Abbildung einfach zusammenhängender schlichter Gebiete. In: Courant, R. (eds) Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00750-1_20
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