Zusammenfassung
Wir stellen zunächst ohne Beweis einige elementare, die Grundbegriffe der Funktionentheorie betreffende Tatsachen zusammen, die dem Leser bekannt sein dürften und jedenfalls im folgenden als bekannt vorausgesetzt werden.
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Literatur
Eine andere Art der stereographischen Projektion, bei der die z-Ebene die Kugel im Südpol berührt, wird gleichfalls häufig angewandt. Vgl. die entsprechende Darstellung in Abschn. I, Kap. 1 , § 3 (S. 8–1 1) .
Fragen der in § 2 behandelten Art gehören der Topologie, genauer der Topologie ebener Punktmengen, an. Bei unseren Betrachtungen brauchen wir nicht auf die volle Allgemeinheit und Abstraktheit jener Theorie einzugehen, und werden uns demgemäß nicht scheuen, auch anschauliche Hilfsmittel heranzuziehen. Im Verlaufe unserer späteren Überlegungen wird sich j edoch die Notwendigkeit ergeben, die in diesem Paragraphen gegebenen topologischen Überlegungen zu erweitern. Zusammenfassende Darstellungen der Topologie finden sich in H. Seifert und W. Threlfall, Lehrbuch der Topologie, Leipzig und Berlin 1934, und P. Alexandroff und H. Hopf, Topologie I, Berlin 1935.
Eine Funktion heißt in einem abgeschlossenen oder offenen Intervalle stückweise stetig, wenn sich dieses Intervall derart in endlich viele Teilintervalle zerlegen läßt, daß die Funktion im Innern j edes solchen Teilintervalles definiert und stetig ist und bei Annäherung an die Teilpunkte von innen her bestimmten endlichen Grenzwerten zustrebt. Zu diesen „Teilpunkten“ sind dabei die Endpunkte des Gesamtintervalls nur dann (ausnahmsweise) hinzuzurechnen, wenn dieses als abgeschlossen vorausgesetzt war. In den Teilpunkten braucht die Funktion nicht definiert zu sein.
Für einen Beweis dieses Satzes vgl. etwa B. v. Kerékjarto, 1. c. S. 59 ff.
Ein Beweis des Jordanschen Satzes für Polygone sei hier kurz skizziert. Wir betrachten ein einfach geschlossenes Polygon H und irgendeine Richtung r, welche keiner der Polygonseiten parallel ist. Durch jeden nicht auf H liegenden Punkt P der Ebene ziehen wir einen Strahl parallel zu r. Trifft dieser Strahl das Polygon H in einer geraden Anzahl von Punkten, so rechnen wir den Punkt P zur Punktmenge M 1 , andernfalls zur Punktmenge M 2 . (Fällt dabei ein Treffpunkt von r mit H in eine Ecke von H, so rechnen wir diese Ecke nur dann als Treffpunkt mit, wenn das Polygon in dieser Ecke die Gerade r durchsetzt.) Man erkennt sehr leicht, daß diese beiden Punktmengen durch H voneinander getrennt werden und daß zu jedem Punkt von M1 (und ebenso von M 2 ) eine volle Umgebung ebensolcher Punkte gehört. Randpunkte von M1 (und ebenso von M2) sind demnach nur die Punkte des Polygons H, diese aber auch sämtlich. Bis j etzt ist die Doppelpunktfreiheit von H übrigens noch nicht benutzt ; jedes Polygon berandet demnach zwei offene Punktmengen M 1 und M2. Besteht M1 (oder M 2 ) aus mehreren Gebieten, so ist der Rand eines j eden dieser Gebiete offensichtlich aus Teilstrecken von H zusammengesetzt und selbst ein Polygon. Ist nun H einfach, so gibt es kein Teilpolygon von H außer H selbst, und man erkennt, daß M 1 und M2 je nur aus einem Gebiet bestehen können. — Diese Tatsachen aber enthalten die Aussage des Jordanschen Satzes für unser Polygon H.
Die Tatsache dieser Zerlegbarkeit erkennt man allgemein folgendermaßen : Zunächst ist für ein konvexes Polygon die Zerlegbarkeit in Dreiecke unmittelbar einleuchtend, weil man lediglich einen inneren Punkt eines solchen Polygons mit allen Eckpunkten zu verbinden braucht, um eine solche Zerlegung zu erhalten. Ist nun H ein beliebiges Polygon, so verlängert man alle Polygonseiten nach beiden Seiten ins Unendliche. Hierdurch wird die Ebene in eine endliche Anzahl von polygonalen Feldern F eingeteilt, von denen eines oder mehrere zusammen das Innere von H bilden. Ist g eine das Feld F begrenzende Gerade und H diej enige von g begrenzte Halbebene, welcher F angehört, so wird F gebildet von der Gesamtheit aller Punkte, welche den sämtlichen so definierten Halbebenen H angehören. Da nun alle diese Halbebenen konvexe Bereiche sind, so muß die ihnen gemeinsame Punktmenge, d. h. F, wieder konvex sein. Somit ist das Innere von H in eine endliche Anzahl konvexer Polygonbereiche zerlegt und damit der Zerlegungssatz allgemein bewiesen.
Unter einer positiven Drehung verstehen wir eine Drehung vom Sinne derj enigen, durch welche die positive x-Achse auf dem kürzesten Wege in die positive y-Achse übergeht.
Diese Querschnitte konstruiert man etwa so : Man verbinde einen Punkt des ersten mit einem Punkt eines andern Randstückes geradlinig und suche auf der Verbindungsstrecke den letzten Punkt P, der noch zum ersten Randstück gehört, und den ersten darauffolgenden Punkt Q, der zu einem anderen Randstück gehört. Dann ist die Strecke PQ der gesuchte Querschnitt vom ersten Randstück zu einem zweiten. Die Strecke zerlegt das Gebiet nicht ; denn durch einen Weg im Gebiet, der das zweite Randstück approximiert, kann man von einem Ufer der Strecke zum andern gelangen. Man kann also fortfahren und eine Strecke ziehen, die zu einem dritten Randstück führt und das durch den ersten Querschnitt entstandene (n — 1)fach zusammenhängende Gebiet nicht zerlegt, usw.
Die in der Voraussetzung der glatten Approximation enthaltene Forderung, daß auch die Tangentenrichtung auf der approximierenden Kurve gegen die Tangentenrichtung auf der Grenzkurve strebt, kann durch die Schwächere ersetzt werden, daß die Länge der approximierenden Kurven beschränkt bleibt. Der auf elementaren Integralabschätzungen beruhende Beweis dieses (künftig nicht benutzten) Satzes kann wiederum dem Leser überlassen bleiben.
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Hurwitz, A. (1964). Vorbereitende Betrachtungen. In: Courant, R. (eds) Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00750-1_15
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