Zusammenfassung
Die Einführung der komplexen Zahlen hat ihren Grund bekanntlich in dem Umstande, daß die Gleichungen zweiten Grades mit reellen Koeffizienten in zwei Kategorien zerfallen: in solche mit Lösungen und solche ohne Lösungen. Wird man in mathematischen Untersuchungen auf die Unmöglichkeit geführt, gewissen Aufgaben zu genügen, so versucht man, durch eine Erweiterung der fundamentalen Begriffe diese Unmöglichkeit zu beseitigen. So fällt die Unmöglichkeit, gewisse quadratische Gleichungen aufzulösen, fort, wenn wir den Bereich der reellen Zahlen erweitern durch Einführung der komplexen Zahlen. Um die komplexen Zahlen zu definieren, betrachten wir die Gesamtheit aller Zahlenpaare (a, b), welche wir durch die Punkte einer Ebene geometrisch versinnlichen wollen (Abb. 1).
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Literatur
Diese Bezeichnungen sollen auch im folgenden beibehalten werden.
Definitionen und einfache Tatsachen aus der Theorie der unendlichen Folgen reeller Zahlen und Reihen mit reellen Gliedern werden als bekannt vorausgesetzt. Man vergleiche etwa das Lehrbuch von KNOPP : Unendliche Reihen. 2. Aufl. Berlin 1924.
Diese der Funktionentheorie angemessene Auffassung des unendlich Fernen der Ebene als eines Punktes steht in charakteristischem Gegensatz zu der Auffassung der projektiven Geometrie, in welcher bekanntlich das unendlich Ferne der Ebene als eine Gerade angesehen wird.
Jede beschränkte unendliche Punktmenge auf einer Geraden, in einer Ebene oder im Raum hat bekanntlich mindestens eine Häufungsstelle.
Das Wort Gebiet werden wir später nur in speziellerer Bedeutung verwenden. (Vgl. Kap. 3, § 3, S. 45.)
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Hurwitz, A. (1964). Die komplexen Zahlen. In: Courant, R. (eds) Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00750-1_1
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