Geometrie im dreidimensionalen Raum

Zusammenfassung

Seit Descartes (vgl. 1.1.6) beschreibt man die Punkte der Ebene (oder des Anschauungsraumes) durch Paare (oder Tripel) von reellen Zahlen, also durch die Vektoren des ℝ² (oder des ℝ³). Bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts hatte sich diese Beschreibung allgemein durchgesetzt, ohne daß man dabei die Vektorraumstruktur der betreffenden Räume wesentlich ins Spiel brachte: Der Rn wurde meist nur als „Zahlenraum“ interpretiert, er war lediglich ein Hilfsmittel für geometrische Untersuchungen. So schreibt O. Hesse in seinem 1861 bei B. G. Teubner in Leipzig erschienenen Buch „ Vorlesungen über Analytische Geometrie des Raumes“ in der „Ersten Vorlesung“:

Die Aufgabe der analytischen Geometrie ist eine vierfache. Sie lehrt erstens gegebene Figuren durch Gleichungen ersetzen, zweitens transformirt sie diese Gleichungen in Formen, die sich für die geometrische Deutung eignen, drittens vermittelt sie den Uebergang von den transformirten oder gegebenen Gleichungen zu den ihnen entsprechenden Figuren. Da die transformirten Gleichungen aber aus den durch die Figur gegebenen Gleichungen folgen, so ist auch das geometrische Bild der transformirten Gleichungen, das ist eine zweite Figur, eine Folge der gegebenen. Diese Folgerung einer zweiten Figur aus einer gegebenen nennt man einen geometrischen Satz. Sie lehrt also viertens mit Hülfe des Calculs auch geometrische Sätze folgern.