L’Algebre des Projecteurs Coniques

Résumé

Le projecteur sur un ensemble convexe fermé K dans un espace hilbertien réel H est l’opérateur P_K: H → H qui à tout point de l’espace fait correspondre le point le plus proche dans K, appelé sa projection. Si K est un cône convexe fermé C de sommet l’origine, alors on dit que P_C est un projecteur conique. Parmi les projecteurs conique se trouvent les projecteurs orthogonaux ordinaires qu’on obtient en prenant pour C des sous-espaces linéaires. Un fait remarquable dont on ne s’est aperçu que récemment est que les projecteurs coniques jouissent de presque toutes les propriétés algébriques des projecteurs linéaires, notamment de celles qui permettent de développer une théorie spectrale. Ainsi, comme l’intégration des fonctioné réelles par rapport à une résolution spectrale linéaire (famille à un paramètre de projecteurs linéaires croissante de O à I) amène aux opérateurs autoadjoints, celle par rapport à une résolution spectrale conique conduit à une classe d’opérateurs aisément caractérisable dont les opérateurs autoadjoints font partie. Ces opérateurs nouveaux, bien que non linéaires en général, ont un comportement si proche de celui des opérateurs autoadjoints, qu’on peut bien les considérer comme leur généralisation naturelle [2]. Une telle théorie s’appuie sur un petit nombre de relations entre les projecteurs [Théorèmes 2. 1–2. 5], d’ailleurs bien connues, dont les démonstrations ne demandent que deux ou trois lignes dans le cas linéaire [1, n° 105]. Malheureusement cette agréable simplicité est perdue avec la linéarité, ou du moins elle semblait l’être lorsque la question avait été envisagée pour la première fois. Sans linéarité et surtout sans une notion d’opération adjointe, la voie traditionnelle était absolument barrée et on a dû faire des détours considérables pour y parvenir. Dans [2] on est arrivé à ces résultats à la suite d’une étude approfondie des projecteurs sur des convexes généraux et au bout de démonstrations parfois longues et pénibles, de sorte que l’algèbre des projecteurs coniques apparaissait comme plongée dans une théorie plus vaste et, sans doute, plus compliquée. Donc il fallait bien débarrasser les démonstr^tions de tout ce qui n’était pas essentiel et les simplifier autant que possible. Dans cet article nous faisons face à cette tâche en donnant une méthode abrégée pour démontrer les propriétés algébriques des projecteurs coniques basée sur leur équation différentielle. Il s’agit seulement d’un premier pas vers le redressement de l’équilibre entre les énoncés et leurs démonstrations, tout en restant fort loin encore de la simplicité et brièveté de la théorie linéaire, qualités que, peut-être, on n’atteindra jamais. Avec ces buts nous ne présupposerons aucune connaissance au delà des propriétés élémentaires de l’espace hilbertien, et nous nous efforcerons de donner à notre exposé toute la concision compatible avec la clarté et la compréhension du texte. Une grande partie du matériel présenté ici a été prise dans [2] et [3].