Zusammenfassung
In der Physik begegnet uns im Begriff der Translationsgeschwindigkeit eine Größe, die nach Festlegung einer Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages noch nicht vollständig bestimmt ist. Zwei solche Geschwindigkeiten von gleichem Betrage können noch ganz verschiedene Wirkungen hervorrufen, wenn sie verschieden gerichtet sind. Deshalb ist zur eindeutigen Bestimmung einer Translationsgeschwindigkeit außer der Angabe ihres Betrages noch die Angabe ihrer Richtung und ihres Richtungssinnes notwendig. Man kann die drei Bestimmungsstücke anschaulich an einer gerichteten Strecke darstellen (Abb. 88). Die Länge der Strecke ist ein Maß für den Betrag; dreht man die Strecke um ihren Anfangspunkt, so ändert sich ihre Richtung, vertauscht man Anfangs- und Endpunkt, so ändert sich der Richtungssinn.
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Referenzen
1) Die Addition von linienflüchtigen Vektoren kann nur dann nach der Parallelogrammregel erfolgen, wenn sich die Vektoren in einen gemeinsamen Anfangspunkt verschieben lassen. Um linienflüchtige Vektoren, deren Wirkungslinien sich nicht schneiden, „addieren“ zu können (z. B. räumlich verteilte Kraftvektoren am starren Körper), muß man eine verallgemeinerte Vektoraddition definieren, wobei man zu dem Begriff des „Winders“ gelangt, worauf hier aber nicht weiter eingegangen werden soll.
2) Gebundene Vektoren können nur dann addiert werden, wenn sie gleichen Anfangspunkt haben. Gebundene Vektoren, die speziell vom Ursprung ausgehend zu einem Raumpunkt verlaufen, heißen Ortsvektoren. Näheres über Ortsvektoren siehe S. 98f.
1) Andere Bezeichnung: inneres Produkt.
1) Dieser Sachverhalt wird gelegentlich als „alternatives Gesetz“ oder „Antikommutativität“ bezeichnet.
1) Vgl. die Fußnote zu Beispiel 7 des vorigen Abschnittes.
1) Die Einzahl von „Richtungskosinus“ wird als kurzes u, die Mehrzahl als langes u gesprochen!
1) Mathematisch korrekt gesprochen ist die Abbildung der Menge aller Vektoren in Basisdarstellung in die Menge aller Vektoren in Tripeldarstellung ein Modulisomorphismus über dem Körper der reellen Zahlen als Skalarbereich. Die Tripel sind Zeilenmatrizen (die übrigens auch als Spaltenmatrizen geschrieben werden können). Für diese gibt es eine multiplikative Verknüpfung unter Beachtung des „Permanenzprinzips“ nicht.
1) Auch „vektorielles Dreierprodukt“ genannt.
1) Die Punkte 3 und 4 liefern nicht die Berechtigung, den komplexen Vektoren ihren Vektorcharakter abzusprechen! Ich bemerke dazu, daß in der linearen Algebra Vektoren als Elemente von Vektorräumen erklärt werden, und Vektorräume sind Moduln über bestimmten Strukturen als Skalarbereich. Beispiel: Der Körper der komplexen Zahlen ist bezüglich der Addition ein zweigliedriger Vektorraum über dem reellen Zahlenkörper als Operatorenbereich. Eine permanenzprinzipielle Fortsetzung der Modulverknüpfungen gibt es nicht ! Aus diesem Grunde orientiert man sich bei den übrigen Verknüpfungen nach physikalischen Gesichtspunkten (allgemeine Vektoren) bzw. nach arithmetischen Regeln (bei komplexen Vektoren = Zeigern).
1) Das Vielfache einer Zeile (Spalte) erhält man durch Multiplikation aller Elemente dieser Zeile (Spalte) mit dem betreffenden Faktor.
1) Der Gausssche Algorithmus liegt allen praktischen Lösungsmethoden für lineare Systeme, welche auf der Elimination der Unbekannten beruhen, zugrunde. Die in I. 6.7.2 behandelte Cramersche Regel hatte den Vorzug, die Lösungen eines linearen Systems (unter bestimmten Voraussetzungen) mittels Determinanten in geschlossener Form verhältnismäßig leicht anschreiben zu können. In der praktischen Mathematik kommt die Cramersche Regel als numerisches Verfahren jedoch nic ht in Frage, da das Ausrechnen größerer Determinanten viel zu aufwendig wird.
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© 1968 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Böhme, O.G. (1968). Vektoralgebra. In: Mathematik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00560-6_2
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