Numerische Verfahren

Zusammenfassung

Die zahlenmäßige Durchführung der Eigenwertaufgabe: Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix, stellt bei Matrizen selbst nur mäßiger Reihenzahl schon einen umfangreichen numerischen Prozeß dar, für den in der praktischen Mathematik numerische Verfahren in so großer Anzahl entwickelt worden sind, daß wir hier nur einen auswählenden Überblick geben können. Da unterscheidet man zunächst die direkten und die iterativen Verfahren, für die wir in § 14.2 und 4 auch schon je einen Vertreter vorgeführt haben. Die direkten Methoden lösen die Aufgabe durch Aufstellen der charakteristischen Gleichung, deren Wurzeln die Eigenwerte in ihrer Gesamtheit liefern, wozu dann die Eigenvektoren noch gesondert zu bestimmen sind. Der Arbeitsaufwand ist bei umfangreichen Matrizen entsprechend groß. Demgegenüber liefern die iterativen Verfahren Eigenwerte und Eigenvektoren unmittelbar ohne Aufstellen des charakteristischen Polynoms, und eine wichtige Gruppe unter ihnen, die auf dem v. Mises-Verfahren aufbauende Vektoriteration, greift jeweils nur einen Eigenwert nebst Eigenvektor an. Da insbesondere bei umfangreichen Matrizen nur selten die Gesamtheit aller Eigenwerte der Matrix interessiert, so kommt der Vektoriteration besondere praktische Bedeutung zu. Mit ihr beginnen wir daher die folgende zusammenfassende Darstellung der numerischen Seite der Eigenwertaufgabe.