Struktur der Matrix

Zusammenfassung

Bisher haben wir unsere Betrachtungen auf diagonalähnliche Matrizen beschränkt, das sind solche n-reihigen Matrizen, zu denen auch im Falle mehrfacher Eigenwerte genau n linear unabhängige Eigenvektoren existieren. Diese stellen ein der Matrix eigentümliches im allgemeinen schiefwinkliges Achsensystem dar, das System der Eigenachsen, in welchem die Matrix die besonders einfache Form der Diagonalmatrix Λ = Diag(λ _i ) ihrer Eigenwerte annimmt. Aus der Existenz n unabhängiger Eigenvektoren folgte weiter eine Reihe von Eigenschaften, die sich sowohl für die theoretische als auch für die praktische Behandlung der Eigenwertaufgäbe als gleich bedeutsam erwiesen. Wir sahen aber auch, daß es darüber hinaus Matrizen gibt, deren charakteristische Matrix A - λ_σ I zu einem mehrfachen Eigenwert λ_σ der Vielfachheit p _σ einen Rangabfall d _σ < p _σ aufweist, so daß nicht mehr die volle Anzahl von Eigenvektoren vorhanden ist. Wir deuteten auch schon an, daß sich solche Matrizen durch Ähnlichkeitstransformation überhaupt nicht mehr auf Diagonalform überführen lassen. Der Klasse der diagonalähnlichen Matrizen, die, wie in § 16.2 gezeigt, mit den normalisierbaren Matrizen identisch sind, stehen somit weitere Matrizenklassen gegenüber. Für diese erhebt sich nunmehr die Frage nach einer der Diagonalform Λ entsprechenden abgewandelten Normalform der Matrix, die im Falle diagonalähnlicher Matrix in den Sonderfall der Diagonalmatrix der Eigenwerte übergeht, im allgemeinen nichtdiagonalen Falle aber außer den Eigenwerten als numerischen Eigenschaften der Matrix auch noch deren inneren Bau, ihre Struktur erkennen läßt.