Zusammenfassung
Ich beginne systematisch in der Weise, daß ich zunächst gar nicht von Funktionen spreche, sondern vorab die unabhängige Veränderliche x selbst ins Auge fasse und sie mir in üblicher Weise auf einer Abszissenachse durch einen Punkt darstelle, dessen Entfernungen vom Anfangspunkt |x| Längeneinheiten beträgt und der für positives x rechts, für negatives x links vom Anfangspunkt liegt. Ich wünsche das Interesse auf die Genauigkeit der Konstruktion eines solchen Punktes zu richten. In dieser Beziehung ist zu bemerken: Wenn ich irgendeines der empirischen Verfahren anwende, zu denen ich das Zeichnen, Messen, das visuelle Auffassen durch das Augenmaß oder auch das geistige Reproduzieren durch räumliches Vorstellen rechne, so kommt dem Ergebnis der Konstruktion nur beschränkte Genauigkeit zu, was ich für das Messen mit einigen Zahlenwerten belegen will.
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Literatur
Math. Annalen, Bd. 55 (1902). — (Abgedruckt in F. Klein: Gesammelte math. Abhandlungen Bd. II, S. 241–246.)
Wieder abgedruckt in den Math. Annalen, Bd. 22 (1883) (und in F. Klein a. a. O. S. 214–224 ).
Neuer Abdruck, besorgt von der American Mathematical Society. New York 1911. — (Den genannten Vortrag findet man auch in F. Klein a. a. O. S. 225–231.)
Das Referat wurde 1898 abgeschlossen. Man vgl. auch A. Pringsheim: Vorlesungen über Zahlenlehre, Erste Abteilung. Leipzig 1916.]
tiber die betreffenden Unmöglichkeitsbeweise vgl. Bd. I, S. 56–60, S. 123–124, S. 256–269. Für die Näherungsverfahren sei auf das besonders reichhaltige Buch Th. Vahlens: Konstruktionen und Approximationen (Leipzig 1911) hingewiesen.]
Genaueres hierüber findet man in L. Ambronn; Handbuch der astronomischen Instrumentenkunde Bd. I (Berlin 1899 ), Kap. IX, S. 433–437.]
P. du Bois-Reymond handelt in seiner „Allgemeinen Funktionentheorie“, Tübingen 1882, zwar auch fortgesetzt von dem Unterschiede der „idealistischen” und der „empirischen“ Auffassung (den er auf die Raumanschauung als solche überträgt), nimmt aber dann keine positive mathematische Wendung, sondern verliert sich in der Ausspinnung der von dort aus nach seiner Meinung entspringenden Antinomien.
Diese Genauigkeit ist sogar bislang recht gering und jedenfalls sehr viel weniger beträchtlich als bei den Versuchen, durch welche die Konstanz der Masse nachgewiesen werden soll.
Eine Zusammenstellung neueren Datums findet man in dem Enzyklopädieartikel (VI 2, 17; abgeschlossen 1919 ) von J. Bauschinger: Bestimmung und Zusammenhang der astronomischen Konstanten, wo ebenfalls die Konstanten konsequent als Intervalle angegeben werden.]
Vgl. auch A. Pringsheim: Vorlesungen über Zahlen-und Funktionenlehre II, 1. Leipzig 1925, S. 54–56 und F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, II. Aufl., Berlin 1927, Kap. 8, S. 197.]
Man vgl. hierzu die Ausführungen von E. Borel in seinem bereits auf S. 38 zitierten Vortrage über die Molekulartheorien und die Mathematik.]
Vgl. die Idee der vollständig unstetigen Welt nach Art der Kinematographen. Von der angenäherten Darstellung der Funktionen. 67
Die Fouriersche Reihe kommt dann gegebenenfalls auf die früher besprochene endliche trigonometrische Reihe mit ihren durch Summen definierten Koeffizienten zurück.
Vgl. hierzu auch H. v. Sanden: Praktische Analysis 2. Aufl. (1924), S. 122 bis 135, wo man auch die rechnerischen Methoden entwickelt findet. Über die Durchführung der Rechnung vgl. man das bereits (S. 59) zitierte Buch von C. Runge u. H. König und das Tafelwerk von L. W. Pollack: Rechentafeln zur harmonischen Analyse. Leipzig 1926. Außerdem sei auf die Ausführungen von H. Friesecke, J. Groeneveld, W. Lohmann, R. von Mises, H. Pollaczek-Geiringer und L. Zipperer in Bd. 2 (1922), Bd. 3 (1923) und Bd. 6 (1926) der Zeitschr. f. angewandte Mathematik und Mechanik hingewiesen.]
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Klein, F. (1955). Von den Funktionen reeller Veränderlicher und ihrer Darstellung im rechtwinkligen Koordinatensystem. In: Müller, C.H. (eds) Elementarmathematik vom Höheren Standpunkte aus, III. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 16. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00246-9_2
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Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
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