Punktmengen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir die Begriffe Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit und beweisen insbesondere, dass die Menge aller reellen Zahlen nicht abzählbar ist. Dabei wird das sog. Cantor’sche Diagonalverfahren benutzt. Wir definieren die Begriffe Häufungspunkt und Berührpunkt sowie Supremum und Infimum von Mengen reeller Zahlen. Außerdem behandeln wir den Limes superior und Limes inferior von reellen Zahlenfolgen.

Aufgaben

9.1

Eine Zahl $x\in\mathbb{R}$ heißt algebraisch, wenn es eine natürliche Zahl $n\geqslant 1$ und rationale Zahlen $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\in\mathbb{Q}$ gibt, so dass

$$\begin{gathered}\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_{n}=0.\end{gathered}$$

Man beweise: Die Menge $A\subset\mathbb{R}$ aller algebraischen Zahlen ist abzählbar.

Hinweis. Man zeige dazu, dass die Menge aller Polynome mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist und benutze (ohne Beweis), dass ein Polynom $n$-ten Grades höchstens $n$ Nullstellen hat.

Bemerkung

Eine reelle Zahl $x\in\mathbb{R}$ heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch ist. Aus der Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen folgt, dass es überabzählbar viele transzendente Zahlen gibt. Es ist jedoch i. Allg. schwer, von einer konkret gegebenen Zahl $x\in\mathbb{R}$ zu entscheiden, ob sie transzendent oder algebraisch ist. Bekannte transzendente Zahlen sind die Eulersche Zahl $e$ (Beweis von Hermite 1873) sowie die Zahl $\pi$ (Lindemann 1882). Aus der Transzendenz von $\pi$ folgt die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal. Siehe dazu auch T .

9.2

Man beweise:

a):

Die Menge aller endlichen Teilmengen von $\mathbb{N}$ ist abzählbar.

b):

Die Menge aller Teilmengen von $\mathbb{N}$ ist überabzählbar.

9.3

Man zeige, dass die Abbildung

$$\begin{gathered}\displaystyle\tau:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N},\quad\tau(n,m):=\tfrac{1}{2}(n+m+1)(n+m)+n,\end{gathered}$$

bijektiv ist.

9.4

Man konstruiere bijektive Abbildungen

i):

$\phi_{1}:\mathbb{R}^{\ast}\to\mathbb{R}$,

ii):

$\phi_{2}:\mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$,

iii):

$\phi_{3}:\mathbb{R}_{+}^{\ast}\to\mathbb{R}$,

iv):

$\phi_{4}:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}$.

Bemerkung

Eine Menge $M$ heißt von der Mächtigkeit des Kontinuums, falls es eine bijektive Abbildung $\phi:M\to\mathbb{R}$ gibt. Die sog. Kontinuums-Hypothese von G. Cantor sagt, dass sich eine unendliche Teilmenge $M\subset\mathbb{R}$ entweder bijektiv auf $\mathbb{N}$ oder bijektiv auf $\mathbb{R}$ abbilden lässt. K. Gödel bewies 1938, dass die Kontinuums-Hypothese mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre verträglich ist. P.J. Cohen bewies 1963, dass auch die Negation der Kontinuums-Hypothese (es gibt unendliche Teilmengen $M$ von $\mathbb{R}$, die sich weder bijektiv auf $\mathbb{N}$ noch bijektiv auf $\mathbb{R}$ abbilden lassen), mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre verträglich ist. Bei der Kontinuums-Hypothese handelt es sich also um ein unentscheidbares Problem.

9.5

Es sei $a\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ und $k$ eine natürliche Zahl $\geqslant 2$. Man zeige

$$\begin{gathered}\displaystyle\sup\{x\in\mathbb{Q}:x^{k}<a\}=\sqrt[k]{a}.\end{gathered}$$

9.6

Sei $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Man zeige: Genau dann gilt

$$\begin{gathered}\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_{n}=a,\end{gathered}$$

wenn folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:

a):

Es gibt eine konvergente Teilfolge $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$ von $(a_{n})$ mit

$$\begin{gathered}\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_{k}}=a.\end{gathered}$$

b):

Für jede konvergente Teilfolge $(a_{m_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$ von $(a_{n})$ gilt

$$\begin{gathered}\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}a_{m_{k}}\leqslant a.\end{gathered}$$

9.7

Sei $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ eine beschränkte Folge reeller Zahlen und $H$ die Menge ihrer Häufungspunkte. Man zeige

$$\begin{aligned}\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_{n}&\displaystyle=\sup(H),\\ \displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_{n}&\displaystyle=\inf(H).\end{aligned}$$

9.8

Man beweise: Eine Folge $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ reeller Zahlen konvergiert genau dann gegen ein $a\in\mathbb{R}$, wenn

$$\begin{gathered}\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_{n}=\liminf_{n\to\infty}a_{n}=a.\end{gathered}$$

9.9

Man untersuche, ob folgende Aussage richtig ist:

Eine Folge $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ reeller Zahlen konvergiert genau dann gegen $a\in\mathbb{R}$, wenn für jede konvergente Teilfolge $(a_{n_{k}})$ von $(a_{n})$ gilt: $\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_{k}}=a$.

9.10

Man zeige, dass für jede Folge $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ reeller Zahlen gilt:

$$\begin{gathered}\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_{n}=-\limsup_{n\to\infty}(-a_{n}).\end{gathered}$$

9.11

Sei $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen. Man zeige:

a):

Es gilt $\limsup_{n\to\infty}a_{n}=+\infty$ genau dann, wenn die Folge $(a_{n})$ nicht nach oben beschränkt ist.

b):

Es gilt $\limsup_{n\to\infty}a_{n}=-\infty$ genau dann, wenn die Folge $(a_{n})$ bestimmt gegen $-\infty$ divergiert.

9.12

Es seien $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ und $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ Folgen reeller Zahlen mit

$$\begin{gathered}\displaystyle\limsup a_{n}\neq-\infty\quad\text{und}\quad\liminf b_{n}\neq-\infty.\end{gathered}$$

Man zeige:

$$\begin{aligned}\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_{n}+\liminf_{n\to\infty}b_{n}&\displaystyle\leqslant\limsup_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n})\\ \displaystyle&\displaystyle\leqslant\limsup_{n\to\infty}a_{n}+\limsup_{n\to\infty}b_{n}\,.\end{aligned}$$

Dabei werde vereinbart $a+\infty=\infty+a=\infty$ für alle $a\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}$.

9.13

Das Dedekindsche Schnittaxiom für einen angeordneten Körper $K$ lautet wie folgt:

Seien $A,B\subset K$ nicht-leere Teilmengen mit $A\cup B=K$, so dass für alle $x\in A$ und $y\in B$ gilt $x<y$. Dann gibt es genau ein $s\in K$ mit

$$\begin{gathered}\displaystyle x\leqslant s\leqslant y\quad\text{f{\"u}r alle\ }x\in A\text{\ und\ }y\in B.\end{gathered}$$

Man beweise:

a):

Im Körper $\mathbb{R}$ gilt das Dedekindsche Schnittaxiom.

b):

In einem angeordneten Körper impliziert das Dedekindsche Schnittaxiom das Archimedische Axiom und das Vollständigkeits-Axiom.