Die Exponentialfunktion im Komplexen

Zusammenfassung

Wir wollen im nächsten Kapitel die trigonometrischen Funktionen vermöge der Eulerschen Formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ einführen. Zu diesem Zweck brauchen wir die Exponentialfunktion für komplexe Argumente. Sie ist wie im Reellen durch die Exponentialreihe definiert. Dazu müssen wir einige Sätze über die Konvergenz von Folgen und Reihen ins Komplexe übertragen, was eine gute Gelegenheit zur Wiederholung dieser Begriffe gibt. Zur Veranschaulichung der komplexen Zahlen dient die Gauß’sche Zahlenebene.

Aufgaben

13.1

Sei $c$ eine komplexe Zahl ungleich $0$. Man beweise: Die Gleichung $z^{2}=c$ besitzt genau zwei Lösungen. Für eine der beiden Lösungen gilt

$$\begin{gathered}\displaystyle\mathop{\mathrm{Re}}(z)=\sqrt{|c|+\mathop{\mathrm{Re}}(c)\over 2},\quad\mathop{\mathrm{Im}}(z)=\sigma\,\sqrt{|c|-\mathop{\mathrm{Re}}(c)\over 2},\end{gathered}$$

wobei

$$\begin{gathered}\displaystyle\sigma:=\begin{cases}+1,&\text{falls }\mathop{\mathrm{Im}}(c)\geq 0,\\ -1,&\text{falls }\mathop{\mathrm{Im}}(c)<0.\end{cases}\end{gathered}$$

Die andere Lösung ist das Negative davon.

13.2

Sei $a\in\mathbb{R}$. Man zeige: Die Gleichung

$$\begin{gathered}\displaystyle z^{2}+2az+1=0\end{gathered}$$

hat genau dann keine reellen Lösungen, wenn $|a|<1$. In diesem Fall hat die Gleichung zwei konjugiert komplexe Lösungen, die auf dem Einheitskreis $\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$ liegen.

13.3

Man bestimme alle komplexen Lösungen der Gleichungen

$$\begin{gathered}\displaystyle z^{3}=1\quad\text{und}\quad w^{6}=1.\end{gathered}$$

13.4

(Die elementare analytische Geometrie der Ebene sei vorausgesetzt.) Man zeige: Für jedes $c\in\mathbb{C}\smallsetminus\{0\}$ und jedes $\alpha\in\mathbb{R}$ ist

$$\begin{gathered}\displaystyle\{z\in\mathbb{C}:\mathop{\mathrm{Re}}(cz)=\alpha\}\end{gathered}$$

eine Gerade in $\mathbb{C}$. Umgekehrt lässt sich jede Gerade in der komplexen Ebene $\mathbb{C}$ so darstellen.

13.5

Sei $z_{1}:=-1-i$ und $z_{2}:=3+2i$. Man bestimme eine Zahl $z_{3}\in\mathbb{C}$, so dass $z_{1},z_{2},z_{3}$ die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden.

13.6

Man zeige:

a):

Für jede Zahl $\zeta\in\mathbb{C}\smallsetminus\{0\}$ gilt $|\overline{\zeta}/\zeta|=1$.

b):

Zu jeder Zahl $z\in\mathbb{C}$ mit $|z|=1$ gibt es ein $\zeta\in\mathbb{C}\smallsetminus\{0\}$ mit $z=\overline{\zeta}/\zeta$.

13.7

Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

$$\begin{gathered}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{i^{n}\over n},\quad\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl({1-i\over 1+i}\Bigr)^{n},\quad\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}\Bigl({1-i\over 2+i}\Bigr)^{n}.\end{gathered}$$

13.8

Es sei $k\geq 1$ eine natürliche Zahl und für $n\in\mathbb{N}$ seien

$$\begin{gathered}\displaystyle A_{n}\in\mathrm{M}(k\times k,\mathbb{C}),\quad A_{n}=\bigl(a_{ij}^{(n)}\bigr),\end{gathered}$$

komplexe $k\times k$–Matrizen. Man sagt, die Folge $(A_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ konvergiere gegen die Matrix $A=(a_{ij})\in\mathrm{M}(k\times k,\mathbb{C}),$ falls für jedes Paar $(i,j)\in\{1,\ldots,k\}^{2}$ gilt

$$\begin{gathered}\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{ij}^{(n)}=a_{ij}.\end{gathered}$$

Man beweise:

i):

Für jede Matrix $A\in\mathrm{M}(k\times k,\mathbb{C})$ konvergiert die Reihe

$$\begin{gathered}\displaystyle\exp(A):=\sum_{n=0}^{\infty}{1\over n!}\,A^{n}.\end{gathered}$$

ii):

Seien $A,B\in\mathrm{M}(k\times k,\mathbb{C})$ Matrizen mit $AB=BA$. Dann gilt

$$\begin{gathered}\displaystyle\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B).\end{gathered}$$