Vollständige Induktion

Zusammenfassung

Der Beweis durch vollständige Induktion ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik. Es kann häufig bei Problemen folgender Art angewandt werden: Es soll eine Aussage $A(n)$ bewiesen werden, die von einer natürlichen Zahl $n\geqslant 1$ abhängt. Dies sind in Wirklichkeit unendlich viele Aussagen $A(1),A(2),A(3),\dots$, die nicht alle einzeln bewiesen werden können. Hier hilft vollständige Induktion, die unter geeigneten Umständen erlaubt, in endlich vielen Schritten unendlich viele Aussagen zu beweisen. Wir bringen eine Reihe von interessanten elementaren Formeln, die durch vollständige Induktion bewiesen werden. In diesem Kapitel werden auch die Binomialkoeffizienten definiert und der Binomische Lehrsatz bewiesen.

Appendices

Aufgaben

1.1

Man beweise die Summenformel

$$\begin{gathered}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}={n(n+1)(2n+1)\over 6}.\end{gathered}$$

1.2

Man finde eine Formel für

$$\begin{gathered}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}\end{gathered}$$

und beweise sie.

1.3

Sei $r$ eine natürliche Zahl. Man zeige: Es gibt rationale Zahlen $a_{r1}$, …, $a_{rr}$, so dass für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt

$$\begin{gathered}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{r}={1\over r+1}\,n^{r+1}+a_{rr}n^{r}+\dots+a_{r1}\,n\,.\end{gathered}$$

1.4

Man beweise: Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt

$$\begin{gathered}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}.\end{gathered}$$

1.5

Man beweise: Für alle natürlichen Zahlen $N$ gilt

$$\begin{gathered}\displaystyle\sum_{n=1}^{2N}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{N+n}.\end{gathered}$$

1.6

Seien $a_{0},a_{1},\dots,a_{n}$ und $b_{0},b_{1},\dots,b_{n}$ reelle Zahlen und

$$\begin{gathered}\displaystyle A_{k}:=\sum_{i=0}^{k}a_{i},\quad B_{k}:=\sum_{i=0}^{k}b_{i}\qquad\text{f{\"u}r\ }k=0,1,\dots,n.\end{gathered}$$

Man beweise (Abelsche partielle Summation):

$$\begin{gathered}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}A_{k}b_{k}=A_{n}B_{n}-\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}B_{k}.\end{gathered}$$

1.7

Man beweise: Für jede natürliche Zahl $n$ hat die Zahl

$$\begin{gathered}\displaystyle P(n):=n^{2}+n+41\end{gathered}$$

keinen Primfaktor $\leqslant 37$.

1.8

Seien $n$, $k$ natürliche Zahlen mit $n\geqslant k$. Man beweise

$$\begin{gathered}\displaystyle\dbinom{n+1}{k+1}=\sum_{m=k}^{n}\dbinom{m}{k}.\end{gathered}$$

1.9

Man beweise: Eine $n$-elementige Menge ($n\geqslant 1$) besitzt ebenso viele Teilmengen mit einer geraden Zahl von Elementen wie Teilmengen mit einer ungeraden Zahl von Elementen.

1.10

Für eine reelle Zahl $x$ und eine natürliche Zahl $k$ werde definiert

$$\begin{gathered}\displaystyle\dbinom{x}{k}:=\prod_{j=1}^{k}{x-j+1\over j}={x(x-1)\cdot\ldots\cdot(x-k+1)\over k!},\end{gathered}$$

insbesondere $\tbinom{x}{0}=1$. Man beweise für alle reellen Zahlen $x$, $y$ und alle natürlichen Zahlen $n$

$$\begin{gathered}\displaystyle\dbinom{x+y}{n}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{x}{n-k}\dbinom{y}{k}.\end{gathered}$$

1.11

Ersetzt man im Pascalschen Dreieck die Einträge durch kleine rechteckige weiße und schwarze Kästchen, je nachdem der entsprechende Binomial-Koeffizient gerade oder ungerade ist, so entsteht eine interessante Figur, siehe Abb. 1\,A. Wir bezeichnen das Kästchen, das dem Binomial-Koeffizienten $\tbinom{k}{\ell}$ entspricht, mit $(k,\ell)$. In der Figur sind alle Kästchen $(k,\ell)$ bis $k=63$ dargestellt. Man beweise dazu:

a):

$\tbinom{2^{n}-1}{\ell}$ ist ungerade für alle $0\leqslant\ell\leqslant 2^{n}-1$, d. h. die Zeile mit $k=2^{n}-1$ ist vollständig schwarz.

b):

$\tbinom{2^{n}}{\ell}$ ist gerade für alle $1\leqslant\ell\leqslant 2^{n}-1$.

c):

$\tbinom{2^{n}+\ell}{\ell}$ ist ungerade für alle $0\leqslant\ell\leqslant 2^{n}-1$.

d):

Das Dreieck mit den Ecken

$$\begin{gathered}\displaystyle(0,0),(2^{n}-1,0),(2^{n}-1,2^{n}-1)\end{gathered}$$

geht durch die Verschiebung $(k,\ell)\mapsto(2^{n}+k,\ell)$ in das Dreieck

$$\begin{gathered}\displaystyle(2^{n},0),(2^{n+1}-1,0),(2^{n+1}-1,2^{n}-1)\end{gathered}$$

mit demselben Farbmuster über.

e):

Das Dreieck mit den Ecken $(0,0),(2^{n}-1,0),(2^{n}-1,2^{n}-1)$ weist außerdem eine Symmetrie bzgl. Drehungen um den Mittelpunkt mit Winkel 120 Grad und 240 Grad auf, genauer: Durch die Transformation

$$\begin{gathered}\displaystyle(k,\ell)\mapsto(2^{n}-1-\ell,k-\ell),\quad(0\leqslant\ell\leqslant k\leqslant 2^{n}-1)\end{gathered}$$

geht das Dreieck unter Erhaltung des Farbmusters in sich über, d. h. die Binomial-Koeffizienten

$$\begin{gathered}\displaystyle\dbinom{k}{\ell}\quad\text{und}\quad\dbinom{2^{n}-1-\ell}{k-\ell}\end{gathered}$$

sind entweder beide gerade oder beide ungerade.

Abb. 1 A

Pascalsches Dreieck modulo 2

1.12

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Wieviele Tripel $(k_{1},k_{2},k_{3})$ natürlicher Zahlen gibt es, die

$$\begin{gathered}\displaystyle k_{1}+k_{2}+k_{3}=n\end{gathered}$$

erfüllen?

1.13

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto „6 aus 49“ alle 6 gezogenen Zahlen gerade (bzw. alle ungerade) sind?

1.14

Es werde zufällig eine 7-stellige Zahl gewählt, wobei jede Zahl von $1\,000\,000$ bis $9\,999\,999$ mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftrete. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 7 Ziffern paarweise verschieden sind?

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