Krümmung: Differentialgeometrie

Zusammenfassung

Die Differentialgeometrie (siehe z. B. [20]) beschäftigt sich mit Objekten, die nicht mehr geradlinig sind, wie zum Beispiel krumme Linien und Flächen. Die Krümmung, die die Abweichung von der Geraden oder der Ebene misst, ist der zentrale Begriff. Während die Krümmung einer Kurve an jeder Stelle durch eine einzige Zahl gegeben wird, ist bei einer Fläche (oder einem höherdimensionalen Gebilde) eine symmetrische Matrix erforderlich, deren Eigenwerte die „Hauptkrümmungen“ der Fläche sind; die Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen. Wir werden einen kleinen Teil dieser Geometrie entfalten, und zwar nur im Hinblick auf das nachfolgende Kapitel, in dem die einfachsten krummen Flächen, die von Kugelgestalt, eine besondere Rolle spielen. Diese werden wir unter allen krummen Flächen durch die Eigenschaft kennzeichnen, dass alle tangentialen Richtungen Hauptkrümmungsrichtungen sind. Wir untersuchen sodann eine Klasse krummliniger Koordinatensysteme im Raum, die von den winkeltreuen Abbildungen des folgenden Kapitels erhalten werden, nämlich solche, bei denen sich alle Koordinatenflächen senkrecht schneiden. Die Tangenten der Schnittlinien sind dann Hauptkrümmungslinien für beide Koordinatenflächen, die sich dort schneiden.