V50 Elastische Moduln und Eigenfrequenzen

Zusammenfassung

Im Gegensatz zu Gasen oder Flüssigkeiten, bei denen nur Kompressionswellen auftreten, können bei elastischen Festkörpern zwei unabhängige Wellentypen und ihre verschiedenen Kombinationen beobachtet werden [Mös10]: Longitudinal‑ und Transversalwellen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c dieser Wellen ist mit der Schallgeschwindigkeit identisch, wobei sie in der Regel von der Dichte ρ und den elastischen Moduln der betrachteten Werkstoffe abhängt.

Korrespondiert die auftretende Wellenlänge mit bestimmten Probenabmessungen, so treten Resonanzerscheinungen auf. Es werden immer dann besonders große Schwingungsamplituden beobachtet, wenn die Erregerfrequenz mit einer der Eigenfrequenzen des Probestabes übereinstimmt. Bei einem zu longitudinalen Schwingungen angeregten Probestab tritt Resonanz auf, wenn die Stablänge L [mm] gleich einem ganzzahligen Vielfachen der halben Wellenlänge λ der erregenden Wellen ist. Dann gilt:

$$ L = n \frac{ \lambda }{2} \quad (n = 1,2,3 \ldots ),$$

(50.1)

wobei n als Ordnung der Schwingung bezeichnet wird, n = 1 entspricht der Grundschwingung, n > 1 den Oberschwingungen. Da zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit c, der Frequenz f und der Wellenlänge λ der elastischen Wellen die Beziehung

$$ c = \lambda f$$

(50.2)

besteht, ergeben sich die möglichen Eigenfrequenzen f_n,long zu

$$ {{f}_{n\text{,long}}} = \frac{ n c }{2 L}.$$

(50.3)