V49 Schubmodulbestimmung aus Torsionsschwingungen

Zusammenfassung

Nach V48 besteht bei einem einseitig eingespannten Zylinder des Durchmessers 2R und der Länge L zwischen Torsionsmoment M_t und Torsionswinkel φ der Zusammenhang

$$ {{M}_{\text{t}}}=G\frac{\varphi }{L}\int\limits_{0}^{R}{{{r}^{2}}}2\pi r\mathrm{d}r=\frac{\pi G{{R}^{4}}}{2L}\varphi .$$

(49.1)

Ist der Zylinder sehr lang gegenüber seinem Durchmesser (Draht) und wird sein unteres Ende wie in Abb. 49.1 mit einer zylindrischen Scheibe A verbunden, so führt das ganze System nach Wegnahme des äußeren Momentes Drehschwingungen aus. Es liegt ein Torsionspendel vor. Ist θ₀ das Massenträgheitsmoment des Systems bezüglich der Drahtachse und ist die Systemdämpfung hinreichend klein, so lautet die Bewegungsdifferentialgleichung

$$ {{\Theta }_{0}}\ddot{\varphi }=-{{M}_{\text{t}}}(\varphi )=-\frac{\pi G{{R}^{4}}}{2L}\varphi =-D\varphi $$

(49.2a)

bzw.

$$ \ddot{\varphi }=-{{\omega }^{2}}\varphi .$$

(49.2b)

Dabei ist D das sog. Direktionsmoment und ω die Kreisfrequenz des schwingungsfähigen Systems. Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet

$$ \varphi ={{\varphi }_{0}}\cos \omega t={{\varphi }_{0}}\cos 2\pi \nu t={{\varphi }_{0}}\cos 2\pi \frac{t}{{{t}_{0}}}$$

(49.3)

mit der Schwingungsdauer

$$ {{t}_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{{{\Theta }_{0}}}{D}}=2\pi \sqrt{\frac{2L{{\Theta }_{0}}}{\pi G{{R}^{4}}}}.$$

(49.4)

Somit ergibt sich bei bekannten L, R und θ₀ durch Messung von t₀ der Schubmodul zu

$$ G=\frac{8\pi L{{\Theta }_{0}}}{{{R}^{4}}t_{0}^{2}}.$$

(49.5)