Alpha-stabile Verteilungen verfügen über keine geschlossene Darstellung der Dichte, dafür sei hier die Cauchy-Verteilung aufgeführt. Sie ist eine Verteilung ohne Erwartungswert und Varianz und wird parametrisiert durch das Zentrum t = 0 und dem Breitenparameter s = 1. Sie verfügt weder über Schiefe noch über Kurtosis (Abb. 11.1).

Abb. 11.1
figure 1

Alpha-stabile Cauchy-Verteilung

Full size image
$$Cauchy = f\left( x \right) = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\left( \pi \right) * \left( {{s \mathord{\left/ {\vphantom {s {s - t}}} \right. \kern-0pt} {s - t}}} \right)^{2} }}} \right. \kern-0pt} {\left( \pi \right) * \left( {{s \mathord{\left/ {\vphantom {s {s - t}}} \right. \kern-0pt} {s - t}}} \right)^{2} }}$$
(11.1)

Aufgrund ihres mangelhaften Verhaltens im Extrembereich können Randabhängigkeiten nicht zur Preisfindung herangezogen werden, zumal zudem weder Schiefe noch Kurtosis hinreichend berücksichtigt werden können.