Optimales Portfolio

Zusammenfassung

Für das Erreichen der Anlageziele ist zusätzlich zu den Rendite‐Risiko‐Eigenschaften der Anlagen auch die Risikoeinstellung des Investors zu berücksichtigen. In diesem Kapitel wird gezeigt, wie die Effizienzkurve mit den investorenspezifischen Indifferenzkurven kombiniert wird, um zum optimalen risikobehafteten Portfolio zu gelangen. Die Effizienzkurve wird anhand historischer Kapitalmarktdaten mit der erwarteten Rendite und der Standardabweichung der Renditen von einzelnen Anlagen sowie der Kovarianz bzw. dem Korrelationskoeffizienten zwischen den Renditen von Anlageprodukten erstellt. Die Indifferenzkurven hingegen messen den Nutzen des Anlegers, der aus dem Halten des Portfolios entsteht. Dabei ist neben der Rendite und dem Risiko der Grad der Risikoaversion eines einzelnen Investors relevant. Der Berührungspunkt zwischen der Effizienzkurve und der höchstmöglichen anlegerspezifischen Indifferenzkurve stellt das optimale Portfolio von risikobehafteten Anlagen dar. Wird die risikolose Anlage in die Portfoliokonstruktion eingebunden, liegt das optimale Portfolio auf der effizientesten Kapitalallokationslinie. Unterstellt man, dass die Teilnehmer auf dem Markt identische (homogene) Erwartungen in Bezug auf die Kapitalmarktdaten von Anlagen haben, dann investieren sämtliche Anleger in das gleiche risikobehaftete Portfolio bzw. in das Marktportfolio. Sämtliche Anlagekombinationen zwischen der risikolosen Anlage und dem Marktportfolio liegen auf der Kapitalmarktlinie.

Microsoft‐Excel‐Applikationen

Im Folgenden wird in Microsoft Excel gezeigt, wie bei der effizientesten Kapitalallokationslinie die Gewichte der einzelnen Anlagen im Tangentialportfolio ermittelt werden können. Die effizienteste Kapitalallokationslinie weist die größte Steigung bzw. die höchste Sharpe Ratio aller möglichen Kapitalallokationslinien auf, die sich durch eine Kombination zwischen der risikolosen Anlage und einem risikobehafteten Portfolio auf der Effizienzkurve ermitteln lassen. Die Festlegung des optimalen Tangentialportfolios stellt ein Optimierungsproblem dar, bei der die Zielfunktion aus der Maximierung der Sharpe Ratio besteht, während die Nebenbedingung erfüllt sein muss, dass die Summe der Gewichte 1 ergibt. Sind keine Short‐Positionen im Portfolio zugelassen, ist zusätzlich die Nebenbedingung erforderlich, dass die Gewichte positiv sein müssen. Dieses Optimierungsproblem wird anhand der fünf DAX‐Aktien der Daimler AG, Linde AG, Siemens AG, Bayer AG und Adidas AG für die monatlichen Aktienpreise in der Zeitperiode von Ende Juli 2012 bis Ende Juli 2017 vorgestellt. Die hierzu benötigten Inputparameter bestehen aus der erwarteten Rendite und der Varianz der fünf Aktien sowie aus den Kovarianzen zwischen den Renditen von zwei Aktien.

Die Optimierung erfolgt mit dem Excel Solver, sodass eine numerische (und nicht eine analytische) Lösung gefunden wird. Mit dem Excel Solver lässt sich eine Vielzahl von Nebenbedingungen in der Dialogbox erfassen. Um die maximale Sharpe Ratio sowie die optimale Zusammensetzung des Tangentialportfolios zu ermitteln, sind drei Schritte notwendig. Erstens müssen sämtliche Inputparameter wie die erwarteten Renditen, Standardabweichungen und Varianzen der einzelnen Aktien, die Kovarianzen zwischen den Renditen von zwei Aktien und der risikolose Zinssatz eingegeben werden. Zweitens sind mit den Inputparametern die erwartete Rendite und die Standardabweichung sowie die Sharpe Ratio des Portfolios auszurechnen. Beim dritten und letzten Schritt ist der Excel Solver zu benutzen, um die optimale Portfolioallokation (also die optimale Gewichtung der einzelnen Aktien), Renditeerwartung, Standardabweichung und Sharpe Ratio des optimalen Tangentialportfolios zu berechnen. Abb. 5.10 zeigt die Berechnung des optimalen Tangentialportfolios der fünf DAX‐Aktien in Microsoft Excel. Die nicht mit einer Farbe unterlegten Zahlen spiegeln die Inputparameter wider, während die Zahlen in den Zellen, die mit einer Farbe hervorgehoben werden, die Berechnungen enthalten. In der Zelle H19 (Risiko des optimalen Tangentialportfolios) und in der Spalte J (Portfolioallokation, Renditeerwartung und Sharpe Ratio des optimalen Tangentialportfolios) ist der Ausgabebereich aufgeführt.

Abb. 5.10

Zusammensetzung und Sharpe Ratio des optimalen Tangentialportfolios bestehend aus den fünf DAX‐Aktien der Daimler AG, Linde AG, Siemens AG, Bayer AG und Adidas AG von Ende Juli 2012 bis Ende Juli 2017

Damit das optimale Tangentialportfolio mit der maximalen Sharpe Ratio bestimmt werden kann, sind die folgenden Schritte durchzuführen:

• Erster Schritt: Eingabe der Inputparameter (monatliche Werte)

  • Der risikolose Zinssatz von 0,001 ist in Zelle C4 einzugeben.

  • Die erwarteten Renditen der fünf DAX‐Aktien sind in den Zellen C8 bis G8 einzutragen.

  • Die Standardabweichungen der fünf DAX‐Aktien sind in den Zellen C11 bis G11 aufzuführen.

  • Die Varianz‐Kovarianz‐Matrix ist in den Zellen C14 bis G18 zu erfassen.

  • In den Zellen J5 bis J9 sind die Gewichte einzugeben, wobei die Summe der Gewichte 1 ist, damit die Berechnungen mit dem Excel Solver initialisiert werden können.

• Zweiter Schritt: Berechnungen

  • Die erwartete Portfoliorendite in der Zelle J14 lässt sich wie folgt bestimmen: =J5*C8+J6*D8+J7*E8+J8*F8+J9*G8.

  • Um die Standardabweichung der Portfoliorenditen in der Zelle H19 zu ermitteln, sind zunächst die Varianzen in den Zellen C19 bis G19 festzulegen. Die Varianz in der Zelle C19 wird folgendermaßen ausgerechnet:

    =J5*Summenprodukt(J5:J9;C14:C18).

    Für die Zelle D19 ist folgender Ausdruck einzugeben:

    =J6*Summenprodukt(J5:J9;D14:D18).

    Die Berechnungen für die Varianzen in den Zellen E19 bis G19 erfolgen analog.

  • Zelle H19 enthält die Standardabweichung der Portfoliorenditen, die aus den Varianzen von den Zellen C19 bis G19 besteht: =Summe(C19:G19)^0.5.

  • Die Sharpe Ratio in der Zelle J18 ergibt sich wie folgt: =(J14−C4)/H19.

• Dritter Schritt: Excel Solver

  • Zielzelle (also die Sharpe Ratio): J17

  • Zielwert: Max

  • Veränderbare Zellen: J5:J9

  • Nebenbedingungen: J10=1 und J5:J9>=0

Damit die Optimierung mit dem Excel Solver initialisiert werden kann, sind zunächst die Gewichte einzugeben, wobei die Summe der Gewichte 1 ergibt. Eine praktische Faustregel lautet, dass die Initialgewichte der einzelnen Anlagen 1/N sind. Dabei stellt N die Anzahl Anlagen im Portfolio dar, sodass die Anlagekombination aus gleich gewichteten Anlagen besteht. Im Beispiel setzt sich das Portfolio aus fünf DAX‐Aktien zusammen, die demnach je ein Initialgewicht von 20 % besitzen.

Die Aktivierung des Excel Solver erfolgt über die Registerkarte „Daten“. Danach ist der „Solver“ auszuwählen (rechts auf der Symbolleiste). Dabei öffnet sich eine Dialogbox, bei der fünf Eingaben notwendig sind. Zuerst ist bei der Zielzelle die Sharpe Ratio einzugeben, die sich in der Zelle „J17“ befindet. Anschließend ist beim Zielwert „Max“ anzuklicken. Bei den veränderbaren Zellen ist der Ausgabebereich der optimalen Portfolioallokation einzugeben, der „J5:J9“ ist. Schließlich sind die Nebenbedingungen der Zielfunktion (Maximierung der Sharpe Ratio) einzutragen. Die erste Nebenbedingung ist, dass die Summe der Gewichte 1 ergibt. Um diese Nebenbedingung zu erfassen, muss „Hinzufügen“ angeklickt werden. Danach sind die drei Fenster im Dialogfeld auszufüllen. Im ersten Fenster Zellbezug ist die Zelle „J10“ zu schreiben. In der zweiten Zelle wird „=“ ausgewählt und im Fenster Nebenbedingung wird „1“ eingegeben. Nach der erfolgten Eingabe ist „OK“ zu drücken. Die zweite Nebenbedingung lautet, dass die Gewichte positiv sein müssen, um Short‐Positionen im optimalen Tangentialportfolio zu vermeiden. Bei den Nebenbedingungen in der Dialogbox ist wiederum „Hinzufügen“ anzuklicken. Im Fenster Zellbezug ist „J5:J9“ aufzuführen. Danach ist „>=“ auszuwählen. Im Fenster zur Nebenbedingung ist „0“ zu erfassen und anschließend mit „OK“ zu bestätigen. In der Dialogbox ist nun „Lösen“ anzuklicken. Wird man aufgefordert die Lösung zu verwenden, ist dies mit „OK“ zu bestätigen. Die maximale Sharpe Ratio beläuft sich auf rund 0,26, während die Daimler‑ und Linde‐Aktie je ein Gewicht von 0 % besitzen und die Gewichte der Siemens‐Aktie 15,1 %, der Bayer‐Aktie 10,9 % und der Adidas‐Aktie 74,0 % sind. Somit setzt sich das optimale Tangentialportfolio, das auf der effizientesten Kapitalallokationslinie liegt, lediglich aus drei Long‐Aktien zusammen und die Summe der Gewichte ist 1.

Ist Excel auf Englisch eingestellt, gelten die folgenden Notationen:

• Summenprodukt = Sumproduct,

• Summe = Sum,

• Daten = Data,

• Zielzelle = Set Target Cell,

• Veränderbare Zellen = By Changing Cells,

• Hinzufügen = Add,

• Nebenbedingungen = Subject to Constraints,

• Zellbezug = Cell Reference,

• Lösen = Solve.