Weitere Anlagecharakteristiken

Zusammenfassung

Die Annahme, dass die Renditen normalverteilt sind, ist sehr praktisch, da lediglich die ersten beiden Momente der Verteilung (also der Erwartungswert und die Varianz bzw. Standardabweichung) erforderlich sind, um die Renditeverteilung vollumfänglich zu beschreiben. Allerdings sind in den allermeisten Fällen die Renditen von Finanzanlagen nicht normalverteilt, sodass höhere zentrale Momente der Verteilung wie die Schiefe und die Kurtosis zu berücksichtigen sind. Darüber hinaus sind für die Beurteilung von Anlagen auch deren Markteigenschaften wichtig. Der Wert von Finanzprodukten wird durch die Informationseffizienz und die Liquidität der Märkte beeinflusst. Letztere hat einen wesentlichen Einfluss auf die Höhe der Handelskosten. Treffen die Annahmen der Normalverteilung nicht zu und sind die Marktinformationseffizienz und die Marktliquidität nicht gegeben, so müssen weitere Verteilungs‑ und Markteigenschaften einbezogen werden, um die Anlage beurteilen zu können.

In diesem Kapitel werden die Eigenschaften einer Verteilung vorgestellt, wobei neben der Normalverteilung die Schiefe, die Kurtosis und die Lognormalverteilung näher betrachtet werden. Danach werden die Markteigenschaften von Anlagen wie die Informationseffizienz der Finanzmärkte, die Zufallsbewegung und die Marktliquidität anhand der Handelskosten beschrieben.

Microsoft‐Excel‐Applikationen

• Um die Schiefe einer Renditeverteilung (für eine Stichprobe) zu berechnen, sind zunächst die Renditen beispielsweise in den Zellen A1 bis A12 einzugeben. In einer leeren Zelle wird folgender Ausdruck geschrieben:

  $$ {=}\text{Schiefe}(\text{A1:A}12) $$

  und anschließend mit der Enter‐Taste bestätigt.

• Microsoft Excel berechnet die Kurtosis anhand der Excess‐Kurtosis (für eine Stichprobe). Sind die Renditen etwa in den Zellen A1 bis A12 aufgeführt, so kann in einer leeren Zelle folgender Ausdruck eingegeben werden:

  $$ {=}\text{Kurt}(\text{A1:A}12). $$

  Danach ist die Enter‐Taste zu drücken.

• Bisher wurden die einzelnen statistischen Kennzahlen wie etwa Mittelwert, Median, Standardabweichung, Schiefe und Excess‐Kurtosis separat bestimmt. In Microsoft Excel ist es auch möglich, eine zusammenfassende Datenausgabe dieser Größen zu erstellen. Dabei sind die folgenden Schritte erforderlich:

  • 1. Es ist der Reiter „Daten“ anzuklicken.

  • 2. Anschließend ist die „Datenanalyse“ anzutippen.

  • 3. Dabei öffnet sich ein Fenster, wobei die Funktion „Populationskenngrößen“ auszuwählen ist.

  • 4. Im offenen Dialogfenster sind die Renditen im „Eingabebereich“ einzugeben (z. B. A1:A12). Danach ist der „Ausgabebereich“ anzuklicken, in der eine Zelle definiert wird (z. B. A13), in welcher die zusammenfassende Datenausgabe erscheinen soll. Schließlich ist bei den „Statistischen Kenngrößen“ ein Häkchen zu setzen und mit der OK‐Taste zu bestätigen.

• Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einer Lognormalverteilung sind der Erwartungswert und die Standardabweichung aus der entsprechenden Normalverteilung erforderlich. Die einfachen Renditen (1 + r) aus einer Lognormalverteilung sind für die Festlegung der erwarteten Rendite und der Standardabweichung in stetige Renditen $\ln \left( 1+\text{r} \right)$ umzurechnen, da diese normalverteilt sind. Befinden sich in den Zellen A1 bis A12 stetige Renditen, können diese verwendet werden, um den Erwartungswert (AM) und die Standardabweichung (SD) in den Zellen A13 und A14 zu berechnen. In den folgenden Excel‐Formeln sind nicht die Ausdrücke 1 + r₀, AM oder SD einzusetzen, sondern deren aktuelle Werte.

• Damit die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet werden kann, dass bei einer Lognormalverteilung ein bestimmter Wert für die einfache Rendite r kleiner oder gleich r₀ ist, muss die Funktion „Lognormvert“ wie folgt verwendet werden:

  $$ {=}\text{Lognormvert}(1{+}\text{r}_{0}; \text{AM}; \text{SD}). $$

  Danach ist die Enter‐Taste zu drücken.

• Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Lognormalverteilung die einfache Rendite r größer oder gleich r₀ ist, lässt sich in Microsoft Excel folgendermaßen ermitteln:

  $$ {=}1{-}\text{Lognormvert}(1{+}\text{r}_{0}; \text{AM}; \text{SD}). $$

  Die Formel ist mit der Enter‐Taste abzuschließen.

• Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei einer Lognormalverteilung die einfache Rendite r zwischen den zwei einfachen Renditen r₀ und r₁ liegt, wobei r₀ < r₁, ist folgender Ausdruck in einer Zelle einzugeben:

  $$ {=}\text{Lognormvert}(1{+}\text{r}_{1}; \text{AM}; \text{SD}){-}\text{Lognormvert}(1{+}\text{r}_{0}; \text{AM}; \text{SD}) $$

  und anschließend mit der Enter‐Taste zu bestätigen.

Ist Excel auf Englisch eingestellt, gelten die folgenden Notationen:

• Schiefe = Skew,

• Kurt = Kurt,

• Daten = Data,

• Datenanalyse = Data Analysis,

• Populationskenngrößen = Descriptive Statistics,

• Eingabebereich = Input Range,

• Ausgabebereich = Output Range,

• Statistische Kenngrößen = Summary Statistics,

• Lognormvert = Lognormdist.