Weitere Aspekte der modernen Finanzmathematik

Zusammenfassung

Das Kapitel schließt das Buch mit einer kurzen Würdigung zweier weiterer wichtiger Anwendungen der Stochastik in der Finanzmathematik ab.

So werden zum einen Risikomaße als Maßzahlen für die Beurteilung der Risiken einer finanziellen Publikation eingeführt. Dabei kann die allgemeine Theorie nur angerissen werden. Die für die Praxis wichtigen Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall werden allerdings detailliert vorgestellt und im Hinblick auf ihre wichtigsten Eigenschaften beleuchtet.

Neben den im Buch behandelten zeitstetigen Modellen existiert auch eine umfangreiche Literatur zur Anwendung zeitdiskreter Zeitreihen in der Finanzmathematik. Wir stellen kurz grundlegende Modelle vor, die als zeitdiskretes Analogon zum Black-Scholes und zum Heston-Modell angesehen werden können.

Übungsaufgaben

• 1. Man zeige, dass im AR(1)-Modell für $\left|\alpha\right|<1$ und die Wahl von $Z_{0}=\mu/(1-\alpha)$ die Zeitreihe schwach stationär ist und die folgenden Darstellungen für den Erwartungswert und die Varianz von $Z_{t}$ gelten:

  $$\displaystyle\mathbb{E}\left(Z_{t}\right)=\frac{\mu}{1-\alpha},\mathbb{V}ar\left(Z_{t}\right)=\frac{\sigma^{2}}{1-\alpha^{2}}\ .$$

• 2. Man zeige anhand eines einfachen Beispiels, dass der Value-at-Risk kein konvexes Risikomaß ist.