Körpererweiterungen

Zusammenfassung

Dies ist das zentrale Kapitel des Buches, in dem die Ergebnisse der vorhergehenden Kapitel verwendet werden, um die Frage der Existenz und Berechenbarkeit der Nullstellen von Polynomen zu klären. Zur Frage der Existenz ist die Methode der Erweiterung eines Grundkörpers entscheidend. Das führt zum Zerfällungskörper eines Polynoms und dem algebraischen Abschluss eines Körpers, damit ist die Existenz geklärt. Um die Berechenbarkeit durch Wurzelausdrücke prüfen zu können, hilft die klassische Galoistheorie. Dabei wird dem Zerfällungskörper eine Gruppe von Automorphismen zugeordnet, die sogenannte „Galoisgruppe“, deren Struktur über die Berechenbarkeit entscheidet. Anwendungen davon gibt es auch bei der Frage der Möglichkeiten von geometrischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Etwa für die Konstruktion von regelmäßigen n-Ecken werden die Ergebnisse von GAUSS beschrieben.

Dieser klassische Teil der Algebra ist erfahrungsgemäß im ersten Anlauf nicht leicht zu durchblicken, da hier ein enges Geflecht von Begriffen und Methoden zum Einsatz kommt. Daher ist dieses Kapitel sehr ausführlich geschrieben und mit vielen Motivationen und vor allem Beispielen sowie – was in der Algebra nicht sehr üblich ist – auch Bildern ausgestattet.