Gruppen

Zusammenfassung

Gruppen sind grundlegende Strukturen der Algebra, sie haben ihren Ursprung im Studium von Symmetrien aller Art. Zunächst werden die einfachsten Begriffe erklärt und durch Beispiele illustriert: Halbgruppen, Gruppen, Untergruppen, Homomorphismen und Normalteiler. Danach werden zwei elementare Operationen mit Gruppen beschreiben, nämlich Faktorgruppen und verschiedene Arten von Produkten: innere und äußere direkte und semidirekte Produkte. Besonders einfach sind zyklische Gruppen, sie stehen in engem Zusammenhang zu Teilbarkeitseigenschaften ganzer Zahlen. Erster Höhepunkt ist ein Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen: Sie sind Produkte zyklischer Gruppen. Zur Struktur nicht abelscher Gruppen gibt es nur Teilergebnisse, die aus den Sätzen von SYLOW folgen.

All die verschiedenen Begriffe und Ergebnisse des Kapitels werden durch zahlreiche Beispiele und Bilder mit Leben erfüllt.