Zusammenfassung
Gerade bei Aussagen, die von einer natürlichen Zahl abhängen, kommt man oft weiter, indem man sie zunächst für einige Spezialfälle betrachtet und die dort gewonnenen Einsichten dann auf den allgemeinen Fall anwendet. Das gleiche gilt für Aufgaben, in denen eine Größe in Abhängigkeit von einer natürlichen Zahl gesucht ist, etwa im Fall einer rekursiv definierten Folge. Die systematische Erfassung von Spezialfällen und der Versuch, ein Muster zu erkennen, wirken oft Wunder und führen von zunächst unlösbar scheinenden Fragen zu Aussagen, deren Beweis mit vollständiger Induktion dann nur noch Routinesache ist. Außerdem eignet sich die Betrachtung von Spezialfällen dazu, eine Vermutung auf ihre Richtigkeit zu überprüfen. Diese sehr wichtigen Strategien werden an zahlreichen Beispielen vorgeführt; anschließend geben zahlreiche Aufgaben Gelegenheit zu eigenen Erkundungsgängen.
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Notes
- 1.
Dieses Vorgehen empfiehlt sich öfter – die Dezimaldarstellung einer Zahl ist nicht unbedingt die für ein Problem suggestivste.
- 2.
Die Restklasse von a modulo n ist eine „prime“ Restklasse modulo n, falls \(\text{ggT}(a,n)=1\).
- 3.
Sehr vorsichtig sogar. Tatsächlich ist diese Vermutung falsch und die Häufigkeiten wechseln sich unendlich oft ab. Dass die Restklasse 1 für Primzahlen modulo 4 die Oberhand gewinnt, geschieht allerdings erstaunlich selten und erstmals bei einer ziemlich hohen Zahl.
- 4.
Wie man sieht, wenn man Aufgabe 19(a) gelöst hat.
- 5.
Der Beweis ist allerdings sehr schwierig – hier zeigt sich, zu welch fortgeschrittenen und tiefliegenden Vermutungen man durch einfache Beobachtungen bisweilen geführt werden kann.
- 6.
Bewiesen wurde er erst fast 100 Jahre später im Jahr 1896 durch Hadamard und de la Vallee-Poussin.
- 7.
Den Hinweis auf das Rückwärtsarbeiten im hier beschriebenen Sinn verdanken wir Kap. 1.8 aus L.
- 8.
Hinweis: Für eine vollständige Bearbeitung ist es hier also nicht erforderlich, die Vermutungen definitiv zu entscheiden oder die richtigen zu beweisen.
- 9.
Wer sich von den erstaunlichen Subtilitäten überraschen lassen möchte, in die diese Aufgabe führen kann, lese La.
- 10.
Hier geht es nicht darum, diese Antworten auch zu beweisen – es ist nur nach Vermutungen gefragt!
- 11.
Das sieht man am Einfachsten mit dem Schubfachprinzip – wie?
- 12.
Vgl. Aufgabe 3.13(d).
- 13.
Dass das immer möglich ist, folgt aus Teil (a).
- 14.
Vgl. A1 von http://www.contestcen.com/digits.htm sowie Ga, Kap. 3.2.
- 15.
So ist etwa 1201 nicht selbstbeschreibend zur Basis 4: Zwar kommen die 0 genau einmal und die 1 genau zweimal vor – die ersten beiden Ziffern stimmen also – aber die 2 kommt nicht 0 mal, sondern einmal vor und die 3 kommt nicht einmal, sondern gar nicht vor.
- 16.
Also Verbindungsgeraden zwischen nicht benachbarten Eckpunkten.
Literatur
Amann, F.: Mathematik im Wettbewerb. Klett, Stuttgart (1993)
Engel, A.: Problem Solving Strategies. Springer, New York (1998)
Engel, W., Pirl, U.: Mathematik in Aufgaben. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Wiesbaden (1990)
Gardiner, A.: Discovering Mathematics. The Art of Investigation. Oxford University Press, New York (1987)
International Mathematics Competition. Die Aufgaben sind online verfügbar unter www.imc-math.org
Internationale Mathematik-Olympiade. Die Aufgaben sind online verfügbar unter https://www.imo-official.org/problems.aspx
Kaye, R.: The Mathematics of Logic. A Guide to Completeness Theorems and their Applications. Cambridge University Press, New York (2007)
Larson, L.: Problem-Solving Through Problems. Springer, New York (1983)
Lakatos, I.: Beweise und Widerlegungen. Vieweg, Braunschweig (1979)
Mason, J., Burton, L., Stacey, K.: Mathematisch Denken. Mathematik ist keine Hexerei. 4. Auflage. Oldenburg Verlag, München Wien (2006)
Polya, G., Szegö, G.: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis I und II. Vierte Auflage. Springer, Heidelberg New York (1971)
Polya, G.: Mathematik und plausibles Schließen. Induktion und Analogie in der Mathematik. Zweite Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart (1969)
Oliver, R., Soundararajan, K.: Unexpected biases in the distribution of consecutive primes. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 113(31), E4446–E4454 (2016)
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Carl, M. (2017). Beobachtung und Mustererkennung. In: Wie kommt man darauf?. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-18250-2_7
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