p-Elemente in primitiven Gruppen

Zusammenfassung

Nachdem wir im letzten Kapitel die Untergruppenstruktur von primitiven Permutationsgruppen gut verstanden haben, untersuchen wir in diesem Kapitel die Eigenschaften der Elemente. Mit der Theorie der Jordan-Mengen sehen wir im ersten Abschnitt, dass die meisten primitiven Permutationsgruppen keine Zyklen mit Primzahllänge enthalten können. Dies führt uns zum Satz von Bochert, der eine grobe aber nützliche obere Abschätzung für die Ordnung einer primitiven Gruppe angibt. Insbesondere müssen die interessanten primitiven Permutationsgruppen (also weder S _n noch A _n ) „klein“ sein. Explizit klassifizieren wir die primitiven Gruppen vom Grad 7. Dies schließt auch die Eindeutigkeit der einfachen Gruppe $\textrm{GL}(3,2)$ der Ordnung 168 ein. Im dritten Abschnitt studieren wir die weniger bekannten Konzepte von Zusammenhang und Abschluss. Dies sind notwendige Hilfsmittel für einen Satz von Wielandt, welcher eine Aussage über die Primteiler der Ordnung einer primitiven, nicht 2-transitiven Permutationsgruppe macht. In eine ähnliche Richtung geht Blichfeldts Satz, welchen wir am Schluss beweisen.