Klassifikation der primitiven Gruppen

Zusammenfassung

Inhalt dieses Kapitels ist der Satz von Aschbacher-O’Nan-Scott, der besagt, dass die im letzten Kapitel definierten Typen (A), (F), (V), (D) und (P) alle primitiven Permutationsgruppen beschreiben. Dies ist eines der wichtigsten Ergebnisse über Permutationsgruppen und der Beweis ist entsprechend lang und kompliziert. Wir folgen hierbei [Liebeck-Praeger-Saxl, 1988] und verteilen die Argumentation auf drei Hilfssätze. Da die Gruppen vom Typ (F) am wenigstens verstanden sind, untersuchen wir im dritten Abschnitt beispielhaft die primitiven Permutationsgruppen mit alternierendem Sockel. Den ersten Schritt liefert dabei ein Satz von Hölder, welcher die Automorphismengruppen der alternierenden Gruppen beschreibt. Überraschenderweise tritt die Gruppe A ₆ als Ausnahme auf. Der zweite Schritt besteht in der Charakterisierung der maximalen Untergruppen der symmetrischen Gruppen. Dies ist ein Satz von O’Nan und Scott. Als weitere Anwendung des Hauptsatzes beweisen wir schließlich ein Resultat von Burnside, wonach jede 2-transitive Permutationsgruppe vom Typ (A) oder (F) ist.