Konstruktion primitiver Gruppen mit vorgegebenem Sockel

Zusammenfassung

In diesem etwas technischen Kapitel beweisen wir zunächst einen Satz von Baer, der unter anderen besagt, dass jede primitive Permutationsgruppe höchstens zwei minimale Normalteiler besitzt. Das Produkt dieser Normalteiler heißt Sockel. Abgesehen von den in Kapitel 2 untersuchten affinen Gruppen liegt dann jede primitive Permutationsgruppe in der Automorphismengruppe ihres Sockels. Auf dieser Grundlage ergänzen wir anschließend die affinen Gruppen um vier weitere Familien von primitiven Permutationsgruppen. Die erste neue Familie besteht aus den fast einfachen Gruppen. Dies sind genau die Permutationsgruppen mit nichtabelschem einfachen Sockel. Für die verbleibenden drei Familien führen wir (verschränkte) Kranzprodukte ein. Dies sind semidirekte Produkte spezieller Bauart. Gewisse verschränkte Kranzprodukte mit einer einfachen Gruppe bilden dann die Familie (V). Daneben gibt es primitive Permutationsgruppen vom Diagonaltyp, die man als Untergruppen von Kranzprodukten wiederfindet. Erweitert man eine fast einfache Gruppe oder eine Gruppe vom Diagonaltyp, so gelangt man schließlich zu einer Permutationsgruppe vom Produkttyp. Dies ist die fünfte und letzte Familie von primitiven Permutationsgruppen.